L?R2?L?0.8??1?0.8????0.18M ?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1??L?R1?L??0.8??1.5?0.8?Z2???0.62M ?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1?L?R2?L??R1?L??R1?R2?L?0.8??1?0.8???1.5?0.8??1.5?1?0.8?F2???0.23522??L?R1???L?R2????0.8?1.5???0.8?1??Z1?因此F?0.485M
等价共焦腔示意图略。
9 某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM，R=2M，2a=1CM，波长λ=10.6μm，试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。
解：此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。
根据公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到：
??g2?s1??0s???g1?1?g1g2??1/4??g2?L?????g1?1?g1g2??1/41/4?1.687?10?6?1.316?2.22?10?6M
?s2??g1??0s???g2?1?g1g2??1/4??g1?L?????g2?1?g1g2???1.687?10?6?5.333?8.997?10?6M其中第一个腰斑半径对应平面镜。上式中?0S?L??是这个平凹腔的等价共焦腔镜面上的腰斑半径，并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性质，他们具有同一个束腰。
根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知：
?0??0S2?1.687?1.193?M1.414
作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。 即：
??1N
根据公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数
Nef1?a12??s21a12?0.25?10?43.1416?2.22?10?60.25?10?4??2?1.615?106
Nef1???s21?3.1416?8.997?10?6??2?9.831?104
根据衍射损耗定义，可以分别求出：
?1?11?6.2?10?7，?2??1.02?10?5 Nef1Nef2a2证明在所有菲涅尔数N?L?10 相同而曲率半径R不同的对
称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。这里L表示腔长，a是镜面的半径。 证明：
?R1?R2?2L??在对称共焦腔中，R1?R2?
R1R2??f??22?11 今有一平面镜和一个曲率半径为R=1M的凹面镜，问：应
该如何构成一个平—凹稳定腔以获得最小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。 解答：
我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。根据公式2.6.14得到：?0?2?，如果平面镜和凹面
f?镜构成的谐振腔所对应的等价共焦腔焦距最大，则可以获得最小的基模光束发散角。
f2?L?R2?L??R1?L??R1?R2?L???L?R1???L?R2??2?fmax?0.25m
代入发散角公式，就得到最小发散角为：
?0?2??? ?2?4f?0.25????2f??l?1?l??发散角与腔长的关系式：
?0?2
13 某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面镜的R=2M，腔长L=1M，试给出它所产生的高斯光束的束腰腰斑半径的大小和位置，该高斯光束的焦参数和基模发散角。 解答：
L?R2?L??R1?L??R1?R2?L?F??1M 2?R1?R2?2L??2???0??1.128?3.67?10?3rad
??0F?0?F??10.6?1.84?M 3.141614 某高斯光束束腰光斑半径为1.14MM，波长λ=10.6μM。求与束腰相距30厘米、100厘米、1000米远处的光斑半径及相应的曲率半径。
解答：根据公式（激光原理p71-2.9.4, 2.9.6）
??z???0??z??z??2??1????1?0?f????????0?22
把不同距离的数据代入，得到：
??30cm??1.45MM，??10m??2.97CM，??1000m??2.97M 曲率半径
????2?2?0?? R?z??z?1?????z??????与不同距离对应的曲率半径为：
R?30cm??0.79M，R?10m??10.015M，R?1000m??1000M
15 若已知某高斯光束的束腰半径为0.3毫米，波长为632.8纳米。求束腰处的q参数值，与束腰距离30厘米处的q参数值，与束腰相距无限远处的q值。 解答：
束腰处的q参数值实际上就是书中的公交参量（激光原理p73-2.9.12）：
??02q0?if?i?44.68i
?根据公式（激光原理p75-2.10.8）
q?z??q0?z，可以得到30厘米和无穷远处的q参数值分别为 q?30??q0?30?30?44.68i
无穷远处的参数值为无穷大。
16 某高斯光束束腰半径为1.2毫米，波长为10.6微米。现在用焦距F=2cm的锗透镜聚焦，当束腰与透镜距离分别为10米，1米，10厘米和0时，求焦斑大小和位置，并分析结果。 解答：
根据公式（激光原理p78-2.10.17和2.10.18） 当束腰与透镜距离10米时
?0?'2F2?0???F?l?2??????????202?2.4?M
同理可得到： 解答完毕
17 二氧化碳激光器输出波长为10.6微米的激光，束腰半径为3毫米，用一个焦距为2厘米的凸透镜聚焦，求欲得到焦斑半径为20微米及2.5微米时，透镜应该放在什么位置。 解答：根据公式（激光原理p78-2.10.18）
??2'02F2?0???F?l?2??????????202
上式中束腰到透镜的距离l就是我们要求的参数，其他各个参数都为已知，代入题中给出的数据，并对上式进行变换，得到
l?F?2F2?0?'202???0?????????2
当焦斑等于20微米时，l?1.395M（透镜距束腰的距离）
当焦斑等于2.5微米时，l?23.87M 此提要验证
18 如图2.2所示，入射光波厂为10.6微米，求?0''及l3。 解答：经过第一个透镜后的焦斑参数为：
?'20?2F12?0???F1?l1?2??????????202
l?F1?'?l1?F1?F12???l1?F1?2??????????202
经过第二个透镜后的焦参数为：
?0?2'''F22?02'20?F2?l''2?????????????2 l3?F1??l?l''''?F2F22??F2?2????????'20????2
l'?l''?l2
解方程可以求出题中所求。
19 某高斯光束束腰腰斑半径为1.2毫米，波长为10.6微米。现在用一个望远镜将其准直。主镜用曲率半径为1米的镀金反射镜，口径为20厘米；副镜为一个焦距为2.5厘米，口径为1.5厘米的锗透镜；高斯光束束腰与透镜相距1米，如图所示。求该望
远镜系统对高斯光束的准直倍率。
解答：
根据公式（激光原理p84-2.11.19）
??l??l??2??M'?M1???M1??f????????0?22，其中M?F2F1，为望远镜主镜与
副镜的焦距比。题中的反射镜，相当于透镜，且曲率半径的一半就是透镜的焦距。
已知：?0?1.2MM，??10.6?M，F1?2.5CM，F2?R?50CM，
22a1?1.5CM
2a2?20CM，l?1M
（经过验证，光斑在第一个透镜表面形成的光斑半径小于透镜镜面尺寸，衍射效应很小，因此可以用准直倍率公式） 代入准直倍率公式得到：
??l???l?F2'????50.97 M?M1??2??1??2??F1???0????0?22解答完毕。
20 激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为λ的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束焦参数f的实验原理及步骤。 设计如下：
首先明确焦参数的构成元素为腰斑半径?0，波长λ及?参数，根据提供的数据，激光器的波长为已知，我们不可能直接测量腔内的腰斑半径（因为是对称腔，束腰在腔内），只能通过技术手段测量发射出来的光波场的腰斑半径，然后利用
??z???z???1??????f?f?2这里的z是由激光器腔中心到光功率计的距
离，用卷尺可以测量。光功率计放置在紧贴小孔光阑的后面，沿
着光场横向移动，测量出??z?。把测量的??z?和z代入公式，可以求出焦参数。
设计完毕（以上只是在理论上的分析，实际中的测量要复杂得多，实验室测量中会用透镜扩束及平面镜反射出射光，增加距离进而增加测量精度）