21 二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜构成，两个镜面的曲率半径分别是1米和两米，光腔长度为0.5米。
问：如何选择高斯光束腰斑的大小和位置，才能使它构成该谐振腔的自再现光束。 解答：
高斯光束的自再现条件是（激光原理p84-2.12.1及2.12.2）：
'???0??0 ?'??l?lqc?lc?l??q?0?
根据公式（激光原理p78-2.10.17及2.10.18）
??2'02F2?0???F?l?2??????????202
经过曲率半径为1米的反射镜后，为了保证自再现条件成立，腔内的束腰半径应该与经过反射镜的高斯光束的束腰相同，因此得到：
1?F12?F1
1?l1?2????????20????2
同理，经过第二个反射镜面也可以得到：
1?F22?F2 3
2?l2?2????????20????2
l1?l2?L
根据以上三个式子可以求出l1，l1，?0 l1?0.375M，l2?0.125M，?0?1.63?M 解答完毕。
22 （1）用焦距为F的薄透镜对波长为λ、束腰半径为?0的高斯光束进行变换，并使变换后的高斯光束的束腰半径?0'??0??02)两种情况下，（此称为高斯光束的聚焦），在F?f和F?f(f??如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离？（2）在聚焦过程中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离不变，如何选择透镜的焦距F？
解答：
（1） 根据?22'0?2F2?0?F?l?2????????20????2?2F2?0?F?l?2?f2可知
'?0F222??1，即l?2Fl?f?0 222?0?F?l??f通过运算可得到：
l?F?F2?f2或者l?F?F2?f2（舍去）
（2） 参考《激光原理》p81-2. l一定时，?0'随焦距变化的情况。
23 试用自变换公式的定义式qc?lc?l??q0（激光原理p84-2.12.2），利用q
证明：
??02设高斯光束腰斑的q参数为q0?if?i，腰斑到透镜的距
?离为l，透镜前表面和后表面的q参数分别为q1、q2，经过透镜
22??????0?? 参数来推导出自变换条件式F?1l?1????2???l????后的焦斑处q参数用qc表示，焦斑到透镜的距离是lc=l，透镜的
焦距为F。
根据q参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的q参数，分别是：
透镜前表面：q1?q0?l
透镜后表面：
111??q2q1F
焦斑的位置：qc?q2?lc 把经过变换的q2?Fq1F?q1代入到焦斑位置的q参数公式，并根
据自再现的条件，得到：
Fq1??lc?F?q1?22??lc?l?1????0???? 由此可以推导出F?l1????22???l???????qc?q0?if?i0???q1?q0?l?qc?q2?lc?证明完毕。
24 试证明在一般稳定腔中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径必分别等于各镜面的曲率半径。
证明
设一般稳定腔的曲率半径分别是R1、R2，腔长为L，坐标取在这个稳定腔的等价共焦腔中心上，并且坐标原点到镜面的距离分别是z1和z2，等价共焦腔的焦距为f。
根据
112112和导出l12?Bl1?C?0，其????l2?Ll1R1l1?Ll2R22L?L?R2?LR?L?R2?中的B?，C?1，并证明对双凸腔B2?4C?0
2L?R1?R22L?R1?R225 试从式
解答：略
26 试计算R1?1M，L?0.25M，a1?2.5CM，a2?1CM的虚共焦腔的?单程和?往返.若想保持a1不变并从凹面镜M1端单端输出，应如何选择a2？反之，若想保持a2不变并从凸面镜M2输出，a1如何选择？在这两种情况下，?单程和?往返各为多大？
解答：
???R1R2??L?22?2g1g2?g1?g2??a1'?虚共焦腔的特点：m1??1?激光原理a1?'a2R1??m2??a2R2??RM?m1m2?1?R2??p91,96
?单程?1??往返1??M??1??1?2M??激光原理
p97-2.1511,2.15.12
R?1?1?2?根据MR1???单程?50%，
R2?2L?R1??0.5m??1同理： ?往返?1?2?75%
M?单程?1?单端输出：如果要从虚共焦非稳定腔的凸面镜单端输出平面波，并使腔内振荡光束全部通过激活物质，则凹面镜和凸透镜的选区要满足：a1?a0，a2?a0M，其中的a分别代表（按角标顺序）工
作物质的半径、凹面镜半径、凸面镜半径
1 实施意义上的单面输出（从凸面镜端输出）：按照图（激光原理p96-图2.15.2a）为了保证从凸面镜到凹面镜不发生能量损失，则根据图要满足：
?R2????2??R2?a2R1a1?R1????2? 因为凸面镜的尺寸不变，所以在曲率半径给
定的条件下，凹面镜的半径应该为：
a1?a2?R1?2CMR1
2 从凹面镜端输出，只要保证有虚焦点发出的光到达凹面镜后的反射光（平行光）正好在凸面镜的限度范围内，则可保证从凹面镜单端输出。
因此，此时只要满足a1?a2即可，因此a2?2.5CM 这两种情况下的单程和往返损耗略。 解答完毕。 第三章习题
1． 试由式（3.3.5）导出式（3.3.7）,说明波导模的传输损耗与
哪些因素有关。在其他条件不变时，若波导半径增大一倍，损耗将如何变化？若?减小到原来的12，损耗又将如何变化？在什么条件下才能获得低的传输损耗？ 解：由?nm?k[1?2?1unm2()(1?in)]及?nm??nm?i?nm可得： 2kaka?nm?Re{?nm}?k[1?(?nm1unm22)(1?Im{?n})] 2kakaunm2?21unm2?2?Im{?nm}??k()Re{?n}?()0Re{?n}
2kaka2?a3 波导模的传输损耗?nm与波导横向尺寸a,波长?0，波导材
料的折射率实部以及不同波导模对应得不同unm值有关。 （a）波导半径增大一倍，损耗减为原来的。 （b）波长减小到原来的一半，损耗减为原来的。
获得低的传输损耗应增大波导横向尺寸，选择折射率实部小的介质材料和unm小的波导模。
2.试证明，当?为实数时，若??2.02，最低损耗模为TE01模，而当??2.02时，为EH11模，并证明TE01模的损耗永远比TM01模低。 证明：
?1,对TE0m模?2???1?unm2?2?20??(),对TM0m模 ?2?a3??2?1?21??1?,对EHnm模?2?2?1?1418 ?nm (3.3.8)
对于以上三种不同模，参看书中表3.1，对于同一种模式，m越小，损耗越小，因此以下考虑TE01，（EH11EH11模之间谁最小TM01，
TMTE中n?1最小）题中设?为实数，显然??1， 所以?01,只需??01考虑TE01与EH11:
0101TE2?01u01当EH?222?1时，EH11小???2.02 ?11u11??1TE?01当EH?1时，TE01小???2.02 ?11011101113.BeO在10.6?m波长时Re{?n}?0.033，试求在内径为2a?1.4mm的BeO波导管中EH11模和EH12模的损耗a11和a12，分别以cm?1，m?1以及dBm来表示损耗的大小。当通过10cm长的这种波导时，EH11模的振幅和强度各衰减了多少（以百分数表示）？
unm2?2Re{?n} 解：由?nm?()02?a3?11?1.58?10?5cm?1?1.58?10?3m?1，L11?8.686?11?1.37?10?2dB/m