江陵县实验高中高三数学中档题专项训练（5）
1在?ABC中，a，b，c分别是角A,B,C的对边，且(2a?c)cosB?bcosC?0. （1）求角B的值；
（2）已知函数f(x)?2cos(2x?B)，将f(x)的图像向左平移数g(x)的图像，求g(x)的单调增区间.
2将边长为1的正三角形ABC按如图所示的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合.记边
??AB所在直线的倾斜角为?，已知??0,?3??12个单位长度后得到函
?????.（Ⅰ）试用?表示BC的坐标（要求将结果??化简为形如(cos?,sin?)的形式）； （Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点P?x1,y1?、Q?x2,y2?，称x1?x2?y1?y2为P、Q两点间的“taxi距离” ，并用符号PQ表示.
试求BC的最大值.
3已知A1,A2,A3,?,A10等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为
12.
（Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；
（Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a元，该同学决定按
A1,A2,A3,?,A10顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，
试求该同学参加考试所需费用?的分布列及数学期望.
4如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，AA1?AB?AC?3，
AB?AC?t(t?0)，P是侧棱AA1上的动点.
B1C1A1PBCA
（Ⅰ）当AA1?AB?AC时，求证：A1C?平面ABC1；
（Ⅱ）试求三棱锥P?BCC1的体积V取得最大值时的t值；
1010（Ⅲ）若二面角A?BC1?C的平面角的余弦值为
，试求实数t的值.
中档题专项训练（5）答案
1解:（1）由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0， ……………… 2分 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
得 2sinAcosB+sin(B+C)=0， ……………… 3分 因为 A+B+C=π，所以 sin(B+C)=sinA，得 2sinAcosB+sinA=0， 因为 sinA≠0，所以 cosB=?12， ……………… 5分
2?3又B为三角形的内角，所以B= （2）∵ B=
2?3 . ……………… 6分
2?3, ∴ f(x)=2cos(2x-?12), ………………7分
?2 ∴ g(x)=2cos［2(x+ 由2k?-?2)-
2?3］=2cos(2x-?2)=2sin2x, ………9分
?4≤2x≤2k?+ (k∈Z),得k?-?4≤x≤k?+
?4 (k∈Z),
故f(x)的单调增区间为［k?-，k?+
?4］(k∈Z) . ………………12分
????2解：（Ⅰ）解法一：因为B?cos?,sin??，C?cos???分
??????,sin??????， ??23?3???????????????所以BC??cos?????cos?,sin?????sin?? ???3分
3?3??????2??2???????cos???,sin??????. Ks5u ???7分
33??????????????解法二：平移BC到AD（B移到A，C移到D），???2分
????????由BC的坐标与AD的坐标相等，都等于点D的坐标. ???3分
由平几知识易得直线AD的倾斜角为
????2?3??，
∵|AD|?1，∴根据三角函数的定义可得D?cos???????2??2????,sin??????， 3?3????????2??2?????,sin??所以BC??cos???????. ???7分 33??????（Ⅱ）解法一：BC?cos?????2??2????sin?????，???8分 3?3??2?2????∵??0,，∴???[,?]， ???9分
?3?33??∴BC??cos?????2??2????sin????? ???11分 3?3???5???2sin????， ???12分
12??所以当???12时，BC取得最大值2. ???13分
??解法二：BC?cos???∵0???????????cos??sin??????sin?，???8分 3?3???2?3??，即0??????3，∴???3????3?3??，
∴cos???∵0???????cos??cos??cos(??). ???9分
3?3??3，∴
?2???(?3??)??2，
∴sin?????????sin??sin??????sin?, ???10分 3?3???||BC||?cos??cos(?????)+sin?????sin?33???6??)?2sin(?? Ks5u
?sin(所以当????6??)?cos(5?12), ???12分
12时，BC取得最大值2. ???13分
123解：（Ⅰ）因为该同学通过各校考试的概率均为
28，所以该同学恰好通过2所高校自
主招生考试的概率为P?C210451??1???1?. ???4分 ????102422????（Ⅱ）设该同学共参加了i次考试的概率为Pi（1?i?10,i?Z）. ?1,1?i?9,i?Z??2i∵Pi??，
1?,i?109??2∴所以该同学参加考试所需费用?的分布列如下：
?
P
a
122a
1223a
1234a
1245a
1256a
1267a
1278a
1289a
12910a
129
???7分 所以E??(?1?21122?2???129129?9?129?10)a， ???8分
令S?则
1212?1?122122?2???1213?9, ?（1） 129S??1??2???S?12?128?8?121210?9, ?（2） 1210由（1）-（2）得所以S?1???12?12222???1299??9，
12?????9， ???11分
所以E???1?112?122???128?129?9?11????10a?1????a ??99?222???11010231??2a(元). ???13分Ks5u ?a?2?1?10?a?15122??1?21?
4解：（Ⅰ）证法一：∵AA1?面ABC，∴AA1?AC，AA1?AB.
又∵AA1?AC，∴四边形AA1C1C是正方形， ∴AC1?A1C. ???1分
∵AB?AC,AB?AA1,AA1,AC?平面AA1C1C,AA1?AC?A， ∴AB?平面AA1C1C. ???2分
又∵AC1?平面AA1C1C, ∴AB?AC1. ???3分 ∵AB,AC1?平面ABC1,AB?AC1?A, ∴A1C?平面ABC1. ???4分
证法二：∵AA1?面ABC，∴AA1?AC，AA1?AB. 又∵AB?AC，