长春师范学院本科毕业论文（设计）
空间内的闭集本身构成完备的子空间,所以?0,1?是一完备子空间.
一方面,由Baire纲定理,我们知道任一完备空间是第二纲的,所以?0,1?是第二纲集；另一方面,由于单点集是?0,1?中的疏朗集.假若?0,1?是可数集,则它可表示为可数个疏朗集的并,从而为第一纲集.这便推出了矛盾.这样就证明了?0,1?是不可数集.
证法五 利用单调有界法则证明. 假设?0,1?是可数集,令
?0,1?=?a1,a2,...,an,...?.
现构造递归数列如下：
22?X?，若a?X?，nnn?n3n32,?, 令X1?0,Xn?1?? n?1，2?Xn，若an?Xn?n，3?222则｛Xn｝显然是递增数列,且X1=0,Xn?Xn?1+n?1?Xn?2?n?2?n?1??
3332223，...? ?X1???+n?2?n?1?1 ?n?2，3331?,但X不等于任一an.假若不然,则根据单调有界法则,limXn?X且X??0，n??有某个ar=X,下面分两种情形讨论：
22XsupXX,则==+>ar,这与X=ar矛盾. X?nr?1rrr33n?12(2)若ar?Xr+r,则此时有
3(1)若ar Xr?1=Xr, Xr?2?Xr?1+ 23r?2=Xr+ 23r?1, ???????????, Xr?k?Xr?k?1?23r?k?13r?k?23r?k?1222???Xr+r?1??+r?k?2?r?k?1 333?Xr?k?2?2?2 令k??,两边取极限得： 6 长春师范学院本科毕业论文（设计） 2X=limXr?kk??r?113=Xr+r. ?Xr+ 131?3故 ar?Xr+ 12+X??X.这也与X=ar矛盾.因此,不论哪种情形,总rrr332，...).所以,?0,1???a1,a2,...,an,...有X?an (n?1，?. 这与假设矛盾,从而?0,1?是不可数集合. 3 其它几类常见的不可数集证明 其它几类常见的不可数集合有：无理数集、康托尔集、可数集的幂集等等. 3.1 无理数集是一个不可数集合 无理数集是由全体无理数所组成的集合.无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环. 常见的无理数有大多数平方根、?和e（其中后两者同时为超越数）等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式. 定理3.1 无理数集是一个不可数集合. 证明 第一步,先证明有理数集是可数集： ?123?设Ai??，，，2，3，...?,则Ai是可数集,由可数集的性质(4)我们知...? ?i?1，?iii?道全体正有理数成一可数集Q??Ai. ?i?1?因正负有理数通过??r???r,成为1—1对应.故全体负有理数成一可数集Q?,但有理数全体所成之集合Q?Q??Q???0?,所以由可数集的性质(5)知Q为可数集. 第二步,再证有限个可数集的并集还是可数集. 容易找到一种有限个可数集Ai的排列顺序: ?, A1??a11,?a12,a13,?a14,... 7 长春师范学院本科毕业论文（设计） ↙ ↗ ↙ A2??a21,a22,a23,a24,...?, ↓↗ ↙ ?, A3??a31,a32,a33,a34,... ↙ A4??a41,a42,a43,a44,...? ↓ ??????????. 按照箭头顺序可将?Ai排成: i?1? ?Ai=?a11,a12,a21,a31,a22,a13,a14,...? i?1?因此, ?Ai是可数集. i?1?第三步,接着证明实数集是不可数集. 关于这个证明本文在前面已经给出了很多种证明方法,在此就不赘述了，基本上都是用反证法,即先用一种排列来表示实数集,再由这种表示法推出一定有一个实数不能被这种排列所表示,由此推出矛盾. 第四步,证明无理数集是不可数集. 用反证法证明.假设无理数集是可数集,在第一步我们已经证出有理数集是可数集,那么实数集也应该是可数集(实数集等于有理数与无理数的并).而第三步我们已经证出了实数集是不可数集,与假设矛盾.所以无理数集是不可数集.证毕. 3.2 Cantor集是一个不可数集合 Cantor集,又称三分集.是位于一条线段上的一些点的集合,具有许多显著和深刻的性质,常常是集合论中构造特例的基础.最常见的构造是康托尔三分点集, 8 长春师范学院本科毕业论文（设计） 由不断地去掉一条线段的中间三分之一得出.著名的康托尔集是这样构成的： 1定义3.1 (1)设闭区间?0,1??R,将?0,1?三等分,并除去中间开区间I1=(, 32121).得两个闭区间F1.1=[0,],F1.2=[,1],区间长度为L1=. 333312(2)分别将闭区间F1.1,F1.2三等分,并出去中间两个开区间I2.1=(,),I2.2= 9978121278(,).得到四个闭区间F2.1=[0,]、F2.2=[,]、F2.3=[,]、F2.4=[,1],999933991区间长度为L2=2. 3(3)一般地,仿此继续下去,到第n次,除去了2n?1个开区间,得到2n个闭区间,Fn.1,Fn.2,?,Fn.2n,区间长度L??1.我们得到集合列Fn?Fn.1?Fn.2??3n02?).作集合C??Fn ?Fn.2n(n?1，n?1称集合C为Cantor(三分)集. 定理3.2 Cantor集合是不可数集. 证明 如果一个集合E与D1—1对应,则E是不可数的.其中D是由两个数字重复排列而得到的序列,如0.110001110?构成的集合D=｛0.b1b2?bn?|bi=0或1,i=1,2,?｝不可数. 我们对于?0,1?上的点,用三进位表示法来表示.构建Cantor集合时,每次都把区间?0,1?三等分,并且除去了中间的开区间,三进位表示方法为： ?0,1?上的点,每一次三等分后,依据它在三个区间的位置,对应位数依次记为 0,1,2,如下图所示： 9 长春师范学院本科毕业论文（设计） 0 A B C 1 第一次三等分 0.0 0.1 0.2 第二次三等分 0.00 0.01 0.02 0.20 0.21 0.22 第三次三等分 0.000 0.001 0.002 0.020 0.021 0.022 0.200 0.201 0.202 0.220 0.221 0.222 ??????????????????????????? 由上述图示可知,Cantor集合中的点三进位表示法中仅出现数字0和2,不含数字1,即?x?C(Cantor集合),则x可以表示为： 2，?) x?0.a1a2?an?，ai?0或2,(i?1，2，?)｝与D1—1对应. 得C?｛0.a1a2?an?，|ai?0或2,(i?1，所以, Cantor集合是不可数集. 3.3 可数集的幂集是一个不可数集合 证明 令N为全体正整数所成的集合.分别记N的所有子集,所有有限子集,所有无限子集所成的集族为A,A0和A?,则A=A0?A?,A0?A?为空集. 对于任意的B?A?,令??B???1,那么?是一个从A?到?0,1?上的一对一kk?B2的对应.故A??c.另一方面,可证A0?a.因此A?c,即2a?c.即可数集的幂集 10