大学物理（一）练习册 参考解答
第1章 质点运动学
一、选择题
1(D)，2(D)，3(B)，4(D)，5(B)，6(D)，7(D)，8(E)，9(B)，10(B)， 二、填空题 (1).
12?2n?1??? (n = 0,1,… ), ?A?2sin?t
(2). 8 m，10 m. (3). 23 m/s. (4). 16Rt2 ?
(5). 4t3-3t2 (rad/s)，12t2-6t (m/s2). (6).
13ct，2ct，ct/R.
324
(7). 2.24 m/s2，104o
??(8). 50(?sin5ti?cos5tj)m/s，0，圆. (9). xmax?mv0/K (10).
1v?kt22?1v0
三、计算题
1. 有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t2 – 2 t3 (SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度；
(2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．
解：(1) v??x/?t??0.5 m/s
(2) v = d x/d t = 9t - 6t2, v(2) =-6 m/s. (3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m.
2. 一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为S?bt?12ct 其中
2b、c是大于零的常量，求从t?0开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．
解： v?dS/dt?b?ct at?dv/dt?c an??b?ct?/R
2根据题意： at = an
1
即 c??b?ct?/R
2解得 t?Rc?bc
3. 一质点沿x轴运动，其加速度为a ? 4t (SI)，已知t ? 0时，质点位于x ??10 m处，初速度v??? 0．试求其位置和时间的关系式．
解： a?dv /dt?4t ， dv ?4t dt
?v0dv??t04tdt v = 2t
2
2
v?dx /d t?2t
?xx0dx??t02tdt
2 x?2 t3 /3+x0 (SI)
4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a??ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式．
解： a?
dtdydtdy又 a??ky ∴ -ky?v dv / dy
?dvdvdy?vdv ??kydy??vdv , ?1212ky22?1212v22?C
已知 y?y0 ，v?v0 则 C?? v22v0?2ky0
2?v0?k(y0?y)
5. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．
解：设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知：
vFE =60 km/h 正西方向 vAF =180 km/h 方向未知
vAE 大小未知， 正北方向
???北由相对速度关系有： vAE?vAF?vFE
????vFEvAE、 vAF、vEE构成直角三角形，可得 ??vAE???vAF?1?2???vFE西?2?170 km/h
vAE??tg?vFE/vAE??19.4?
?v?v??vAF?v（飞机应取向北偏东19.4?的航向）．
2
四 研讨题
1. 在下列各图中质点M作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？
参考解答：
(1)、(3)、(4)是不可能的．
(1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；
?? a?0 v M M (1) v v (3) v ?? a ? a ?(2) M ? a ?M (3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心； (4) 曲线运动法向加速度不可能为零.
2. 设质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)在计算质点的速度和加速度时： 第一种方法是，先求出r?x?y22(4)
，然后根据 v?drdt及 a?drdt22而求得结果；
第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v?(dxdt)?(2dydt)和 a?2(dxdt22)?(2dydt22)2.
你认为两种方法中哪种方法正确？
参考解答：
第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义，
???drddx?v??(xi?yj)?dtdtdt?dvddx?dy??a??(i?j)?dtdtdtdt(dxdt)?(2?dy?i?j
dt22dx?dy?i?j 22dtdt所以 v?dydt2)， a?(dxdt22)?(2dydt22).
2第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性
??0d?drdr0dr0?)???r?0为r方向的单位矢量）v??(r?r （r， rdtdtdtdt?220?0?dr0drdrdr?dv??2a??r??r. 22dtdtdtdtdt问题的关键：
?dr0dt??
在第二种方法中，
?didt?0,如果在第一种方法的讨论中，
?0drdt?0,那么
??0ddr0?drdr0drdr0?)??,则v???r?(r?rrr v?=?也成立！
dtdtdtdtdtdt注意：若
?dr0dt?必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据?0,则r0?0大质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)，质点作平面曲线运动，如图所示，r小不变，但方向改变！
所以
?dr0dt?0,即第一种方法是错误的！
3
?0???drdi?0?i（显然i是大小与方向均不随时间改变的常矢量）只有在直线运动中，r??0,dtdt速度的大小才等于
drdt.对加速度的大小a?drdt22也可以用同样方法加以讨论.
第2章 质点力学的运动定律 守恒定律
一、选择题
1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(C)，7(B)，8(C)，9(C)，10(B)，11(C)，12(D)，13(B) 二、填空题 (1). 12rad/s. (2). 290J (3). 3J (4). 18 N2s
??(5). 2t3i?2tj (SI)
3(6). 16 N2s， 176 J (7). 16 N2s ，176 J (8). l0k/M，
Ml0M?nmkM
??(9). i?5j
(10). 2mv， 指向正西南或南偏西45°
三、计算题
1. 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即f??k/x，k是比例常数．设质点在 x=A时的速度为零，求质点在x=A /4处的速度的大小．
解：根据牛顿第二定律 f??kx22?mdvdt2?mvdvdx?dxdtA/4?mvdvdx
∴ vdv??k
12v2dxmx?km,(4?vdv??0?Akmx2dx
A?1A)?3mAk
∴ v?6k/(mA)
2. 飞机降落时的着地速度大小v =90 km/h，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数??=0.10，迎面空气阻力为Cxv2，升力为Cyv2(v是飞机在跑道上的滑行速度，Cx和Cy为某两常量)．已知飞机的升阻比K=Cy /Cx=5，求飞机从着地到停止这段时间所滑行的距离．(设飞机刚着地时对地面无压力)
解：以飞机着地点为坐标原点，飞机滑行方向为x轴正向．设飞机质量为m，着地后地面对飞机的支持力为N．在竖直方向上
4
N?Cyv?mg?0 ∴ N?mg?Cyv 飞机受到地面的摩擦力 f??N??(mg?Cyv)
222在水平方向上 ??(mg?Cyv2)?Cxv即
2?mdvdt?mvdvdx
mvdv?mg?(Cx??Cy)v2??dx
x = 0时，v?v0?90km/h?25m/s．x =S（滑行距离）时，v＝0
0
v0??mg1mmvdv?(Cx??Cy)v02S???dx??S
0
2Cx??Cyv0?d[?mg?(Cx??Cy)v]2?mg?(Cx??Cy)v2??S
解得
2m?mg?(Cx??Cy)v02 S?lnCx??Cy?mg1∵ 飞机刚着地前瞬间，所受重力等于升力，即 mg?Cyv0 ∴ Cy?mgv022 , Cx?CyK?mg5v02
代入S表达式中并化简，然后代入数据 S?5v022g(1?5?)ln15??221 m
3.若质量为m1以速率v10运动的物体A与质量为m2的静止物体B发生对心完全弹性碰撞，如何选择m2的大小，使得m2在碰撞后具有最大的动能？又此最大动能是多少？
解：在对心完全弹性碰撞中，若v20 = 0，则有
(m2?m1)v20?2m1v102m1v10? v2?
m1?m2m1?m2物体B的动能 EK2?由
dEK2dm22212m2v2?22123m2(22m1v10m1?m2)
2?(m2?m1)2m1v10(m1?m2)2?0 得 m1?m2
又
dEK2dm2m2?m1?2m1v1023m2?4m1(m1?m2)4m2?m1?0
故 m2?m1 时，m2的动能有最大值．此最大值是 EK2?
4.一辆水平运动的装煤车，以速率v0从煤斗下面通过，每单位 v0
5
12m1v10．
2