9、解：设Ai={第i回出正面}，记pi?P(Ai)，则由题意利用全概率公式得
P(Ai?1)?P(Ai?1|Ai)P(Ai)?P(Ai?1|Ai)P(Ai)
?pp1?(1?p)(1?p1)?(2p?1)p1?(1?p)。
已知pi?c，依次令i?n?1,n?2,?,1可得递推关系式
Pn?(2p?1)pn?1?(1?p), Pn?1?(2p?1)pn?2?(1?p),?, P2?(2p?1)p1?(1?p)?(2p?1)c?(1?p).
解得
P2n?(1?p)[1?(2p?1)?(2p?1)2???(2p?1)n?]?c(2p?1)n?1,当p?1时利用等比数列求和公式得
?(1?p)1?(2p?1)n?1p11n1?(2p?1)?c(2p?1)n?1?2?2(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1. （1）若p?1，则pn?C,limn??pn?C；
（2）若p?0，则当n?2k?1时，pn?c；当n?2k时，pn?1?c。
*）
（
若c?若c?111，则pn?,limpn? 22n??211，则c?1?c,limpn不存在。
n??2（3）若0?p?1，则由（*）式可得
?11?1limpn?lim??(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1??. n??n??22??2
10、解：令Ai,Bi,Ci分别表示第i次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事
件，则由全概率公式得
pn?1?P(An?1)?P(An)P(An?1|An)?P(Bn)P(An?1|Bn)?P(Cn)P(An?1|Cn)
?0?pn?11qn?0?rn?qn， 44qn?1?P(Bn?1)?P(An)P(Bn?1|An)?P(Bn)P(Bn?1|Bn)?P(Cn)P(Bn?1|Cn)
?1?pn?11qn?1?rn?pn?qn?rn,， 22rn?1?P(Cn?1)?P(An)P(Cn?1|An)?P(Bn)P(Cn?1|Bn)?P(Cn)P(Cn?1|Cn)
11?0?pn?qn?0?rn?qn.
44这里有pn?1?rn?1，又pn?1?qn?1?rn?1?1，所以qn?1?1?2pn?1，同理有
qn?1?2pn，再由pn?1?11qn得pn?1?(1?2pn)。所以可得递推关系式为 441??rn?1?pn?1?(1?2pn)， ?4??qn?1?1?2pn?1初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即p0?r0?0,q0?1，由递推关系式得
rn?1?pn?1?1111111111(1?2pn)??pn??(?pn?1)???pn?1?? 442424248411(?1)n?2(?1)n?1p0?2?3???n?2??2222n?11??1??1????4???2?n?1?????1?1?????2?
1??1???1?(?1)n?1???6??2??n?1n?2?111??n???(?1)????，
3?2???6qn?1?1?2pn?121?1???(?1)n?1????33?2?12,limqn?. 6n??3n?1.
limpn?limrn?n??n??
11、解：设An={家庭中有n个孩子}，n=0,1,2,…，B={家庭中有k个男孩}。注意到生男孩
与生女孩是等可能的，由二项分布(p?1)得 2kn?k?1??1?P(B|An)?C?????2??2?kn?1??C??.
?2?knn由全概率公式得
?1?p?k?1?P(B)??P(An)P(B|An)??apnCn???a?Ck??1?22????i?0n?kn?kk?1??nk?1（其中i?n?k）
?p??a???2?
p??p??1?p?C?a1????????k?1222??????i?0k?k?1`2apk?. k?1(2?p)12、解：（1）设A={至少有一男孩}，B={至少有2个男孩}。A?B,AB?B，由
0?p?1得
(2?p)2apk P(A)??k?1k?1(2?p)?p2a(2?p)ap???,
1?p2?p(2?p)(1?p)(2?p)2apkP(B)??k?1k?2(2?p)?p22a(2?p)2ap2, ???2?p1?p(2?p)2(1?p)2(2?p)P(B|A)?
P(AB)P(B)p. ??P(A)P(A)2?p（2）C={家中无女孩}={家中无小孩，或家中有n个小孩且都是男孩，n是任意正整
数}，则
?ap?1? P(C)?1???apn??
1?pa?1?2?napapapap2?3p?ap?p22 ?1???1???p1?p1?p2?p(1?p)(2?p)1?2A1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且是男孩}，则
P(A1)?ap?11?ap，且A1?C， 22所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为
P(A1|C)?P(A1C)P(A1)1apap(1?p)(2?p). ???P(C)P(C)22?3p?ap?p22(2?3p?ap?p2)(1?p)(2?p)
13、解：设A={产品确为合格品}，B={检查后判为合格品}。已知P(B|A)?0.98，
P(B|A)?0.05，P(A)?0.96，求P(A|B)。由贝叶斯公式得
P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)?
P(B)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.96?0.980.9408??0.99790.96?0.98?0.04?0.050.9428.
16、证：（1）P((A?B)?C)?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)
?P(C)[P(A)?P(B)?P(AB)]?P(C)P(A?B)，
∴A?B与C独立。
（2）P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C) ∴AB与C独立。
（3）P((A?B)C)?P(ABC)?P(AC(??B))?P(AC)?P(ABC) ?P(A)P(C)?P(A)P(B)P(C)
?P(C)[P(A)?P(AB)]?P(C)P(A?B)，
∴A?B与C独立。
17、证：P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?PAB)]