第七章 无 穷 级 数
基 本 要 求 习 题 七
1、 填空题：
（1） 设级数
?n?1?un收敛于s，则级数?(un?un?1)收敛于___________；
n?1??（2） 设limn??un?a,则?(un?un?1)?____________；
n?1?nnnn??________. （3） 若级数2收敛，则nlim??(n!)2n?1(n!)2、 判别下列级数是否收敛.若收敛，求其和. （1）
1234?????； 2!3!4!5! （2）0.001?0.001???n0.001??；
（3）??(ln3)n2nn?0?2n?1； （4）?n n?12（5）?1.
n?11?2?3??n?3.用比较判别法判别下列正项级数的敛散性： （1）???1nn?17?1 ； （2）???82n?1n?5n?6
（3）?1nnn?1n ； *(4)?nnn?1[4?(?1)n].
3、 用比值判别法判别下列级数的敛散性：
?n2?2!2sin??n（1）? ； （2）n； nn?1n?1n3??n?2（3）?nn?12 ； （4）
233?3?3?? 1?22?223?234、 用适当的方法判别下列级数的敛散性.
1
?n?11,(a?0,b?0)（1）?； （2）?；
nn?1na?bn?1?（3）?n?1444 ； （4）1?2?3??.
1!2!3!n?1n(n?2)?5、 用莱布尼兹判别法判别下列级数的敛散性：
n?11(?1)?（1）3nn?1? ； （2）?(?1)n?1?n?1(1?cos1n).
6、 判别下列级数是条件收敛？绝对收敛？发散？ （1）??(?1)n?nn?1? ； （2）??n?12nsinn(?1)2；
n（3）
111???? ； （4）?(?1)n?1ln2ln3ln4??2nn?12n!；
（5）??(?1)n?1n?1n?lnnn *(6)?(?1)n?1?k?nn2,(k为常数)
（7）?(?1)n?1nln(1?n)1?n ；
?sinnx,x?(??,??)； （8）?2n?1n*(9)?(?1)n?1?n?11pn3
7、 求下列幂级数的收敛区间： （1）?x?x?x???x?? 23n2n ； （2）
x2x23x3nn?????x??； 332333n（3）
234nx?x?x?x???x?? 32?323?334?34n?3n；
?2n?12n?2x（4）?； nn?12（5）1?x?22x2?33x3???nnxn?? ； （6）???(x?1)2nn?1n?3n；
（7）
3xx2xn??x????? 22?42?4?62?4?6???(2n)2n?1x； （8）?(?1)；
2n?1n?1 2
*(9)?2n?1?n(x?3)2n ； *(10)?(lgx).
n?1?n3n?18、 若?anx的收敛半径是8，求级数?anx的收敛半径
n?1n?1?n?
9、 求下列级数的和函数： （1）x?x?x?x?? 357357； （2）2x?4x3?6x5?8x7??；
n； *(4)?n(n?1)x.
n?1?（3）1+2x?3x2?4x3?? 10、
将下列函数展开成x 的幂级数：
x1?x?2x21?x10（1）x； （2）
；
（3）1?x； （4）x3e?2x；
1?x（5*）arctan11、 12、
将
1?x 1?x1xf(x)?展开成(x-3)的幂级数.
1将函数
f(x)?x2?3x?2展开成 （x+4）的幂级数. 第七章 单 元 测 验 题
1、判断题.
（1）若limun?0，则级数?un收敛；
n??n?1?（2）若级数?un发散，则级数?cun（c为常数）也发散；
n?1???n?1（3）改变级数的有限个项，级数的敛散性不变； （4）若级数?un收敛，则
n?1n?1?(u2n?1?u2n)收敛.
?2、下列级数是否收敛？是绝对收敛？还是条件收敛？
2?nlnnn2?n3（！）?nn ； （2）?(?1)；
n?n?12n?23? 3
（3）?(?1)n?1?n?1(n!)nn?1 ； *(4)?n?2. (2n)!n?1(n?1)2?n2xn的收敛区间. 3、（1）求级数??n?1n(?1)n?x?? *（2）求级数?n?n?1?2x?1??n4、将函数f(x)?
1展开成 （x-3）的幂级数.
x(x?1)第八章 多 元 函 数
基 本 要 求 习 题 八
1、设有两点A（5，4，0）和B（-4，3，4），求满足条件2|PA| = |PB| 的动点P的轨迹方程.
2、已知空间四点A（3，4，-4），B（-3，2，4），C（-1，-4，4），D（2，3，-3）判定
(x?1)其中哪些点在曲线?????2?y2?z2?36
y?z?0上.
3、求 y轴上的一点，使它到A（1，2，3），B（0，1，-1）两点距离相等. 4、画出下列平面或曲面的草图.
（1）2x?3y?5?0； (2)3y?8?0； (3)x2?y2?z2?1； (4)z?3x2?y2 (5) x+z=1； (6) 2x?y?0； 5、写出以点O（1，3，-2）为球心，并过原点的球面方程. 6、已知函数
xf(x,y)?x2?y2?xytany，试求f (tx,ty).
7、证明函数F（x,y）= lnxlny满足关系式 F（xy,uv）=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v). 8、确定下列函数的定义域D： （1）
f(x,y)?ln[(8?x2?y2)(x2?2y2xy?4)]； （2）z?1?2?2； ab2 4
（3）
f(x,y)?1x2?2xy ； （4）z?4x?y2ln(1?x2?y2).
9、求下列极限. （1）xlim?13xy?x2y2x?y22 ； （2）limarcsinx?y；
x?0y?0.5y?2（3）
x?0y?0limsin3(x2?y2)x2?y2； （4）
x2x?0y?0lim2?xy?4xy；
?xy???. lim*（5）2?2x???x?y??y????10、证明：极限 limx?y 不存在.
x?0x?yy?011、求下列函数的偏导数：
（1）z?x3y?y3x ； （2）z?ln(xy)；
z（3）z?sin(xy)?cos2(xy)； （4）u?arctan(x?y). 12、求下列函数的二阶偏导数：
（1）z?sin(ax?by) （a,b为常数） （2）z = arcsin(xy) * (3)z?ylnx； * (4)z?ln(yex?e)
y13、求下列各函数的全微分： （1）z?xy?（3）z?xxy； （2）z?ex； ； （4）u?axyzxy2?y2.
14、求函数z?ln(1?x2?y2)当x=1,y=2时的全微分.
15、求函数z?x2y3当x=2,y=?1,?x?0.02,?y??0.01时的全微分及全增量的值. 16、设z?u2v?uv2，而u = xcosy,v = xsiny,求?z,?z.
?x?y 5