高等数学作业答案（2013-2014-2）
第五章 向量代数与空间解析几何 5.2 向量及其线性运算 1．2u??3v??5a??11b??7c? 2．e13i?2a?3j?23k 3. 不存在 4．ox轴：34；oy轴41；oz轴：5 5．(1)PrjxAB?1; (2)i; (3) AB?2; (4) e1AB??2(?1,1,2); (5) 方向角：?2?3,3,?4 5.3 数量积 向量积 *混合积 1. （1）22633,?3；（2）2 2. （1）a?b?3；a?b?(5,1,7)； （2）?18；(10,2,14) （3）328；（4）53 （5）(5,1,7) （6）0 3．??2? 4．??40 5. B(18,17,?17) 5.4 平面及其方程 1．3x?7y?5z?4?0 2．x?3y?2z?0 3．x?26y?3z?3?0或 x?26y?3z?3?0． 天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物.
4．2x?3y?z?6?0 5．x?y?2z?4?0 6．x?z?2?0 5.5 空间直线及其方程 1．x?3y?2z?1?4?2?1 2．x?1y?x?1?2t?2??11?z?13 ；??y?1?t ??z?1?3t3．????53,23,2?3?? 4．x?3y?2z?3??9??11 5.6 曲面及其方程 1．(1) 球面 (2)椭圆抛物面 (3) 椭球面 (4) 单叶双曲面 (5) 双曲抛物面 2．y2?z2?5x x2?y2z2x2y23．a2??z2c2?1,a2?c2?1 4．(略) 5.7 空间曲线及其方程 1．x?8cost,y?42sint,z??42sint ?212?2．??2x?4(y?)?1??2?2x2?4(z?1)2?1?z?0?2?y?0??y?z?1(0?y?1)?x?0 1
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?x2?y2?13. H:x?y?1；C:? ?z?02212．见课件 13．提示：从第一条直线上的点?1,?1,0?到第二条直线上任意点?2?t,?1?2t,1?t?的距离为d，取d的最小值即为两条平行直线之间的距离4. 5x2?3y2?1 综合练习题五 1.C C A D C 2. ????????AB?BA3．提示：先证明C?A?B?是A??AB????AB?BA?与B夹角的向量，再证与??AB????AB?BA??方向相同. A?B4.x?y?4; x?z?4； y?z?4 5．?1,?1,3? 6．提示：设所求平面方程为 222119 2d?23。 3x?3y?2z??。 3?1114．直线方程为第六章 多元函数微分学 6.1 多元函数的基本概念 22???x?1?4x?y1．（1）?2 ．（2）?． 22???0?x?y?1?y?12（3）x?2．121y? 22y?x． 2xy?2y?1?x?5y?z???2?x?z?4??0, 4 定出?1?0或??2。所求出平面方程为 3x?z?4?0或x?20y?7z?12?0. 7．?0?y?1?x3．(1)D:?． 0?x?1??y2?x?y?2 (2) D:?． ??1?y?24． (1) 2 ; (2)e; (3)1 ．5．略 6. （1）抛物线y?2x上所有点 （2）单位圆上所有点 2x?1yz?2xyz?1???? 8. ?45031?214?x?y?2z?1?09. ?， x?3y?2z?1?0?1x2?z2?4y2?(y?1)2 4x2y1??0. 7. 提示：lim3x?0x?y32y?06.2 偏导数 1．2x;1. 2．(1) ?x?1y?1??x?y?3,??110. ?2,A? 4?z?0?z?0?11.1 天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物.
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?z?y?zx?2,?; ?xx?y2?yx2?y2高等数学作业答案（2013-2014-2）
(2) ?u?u?x?1,,?u(1,1,1)?y??1(1,1,1)?z?0; (1,1,1)(3) ?z?y2(1?xy)y?1?x; ?z?y?(1?xy)y[ln(1?xy)?xy1?xy] 3．(1) z?xx??2a2cos2(ax?by); z?yy??2b2cos2(ax?by);z?zy??z?yz??2abcos2(ax?by); (2) z??2x2xx??(1?x2)2,z?yy???y(1?y2)2; 4．略 6.3 全微分 1．(1) dz?11?ln(xy)xydx?y2dy; z?1(2) dz?z??x?1z?1?y?dx?z?x?x?y??y??y2dy z???x??y??lnxydz; 2. dz?(3x2f?2yf?)dx?xf?dy 3．25dx?25dy. 4. dx?dy 6.4 多元复合函数的求导法则 1．?z?x?2y22y2x2(2x?3y)?x3ln(3y?2x); ?z3?y?y22yx2(3y?2x)?x2ln(3y?2x). 2． ex(1?x)1?x2e2x． 天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物.
3．?z?x?f?[?(x)?y]???x?; ?2z?x?y?f??[?(x)?y]???x?. 4 ．?z?y??2yf1??xexyf2?; ?2z ?y?x??4xyf11???2y2exyf12???2x2exyf21?? ?xye2xyf22???exy(1?xy)f2???4xyf???2(x2?y2)exy11f12???xye2xyf22???(1?xy)exyf2? 5．略 6．?2z?y?x??2f???xg12???xyg22???g2? 7．略 6.5 隐函数的微分法 1． dz?2?xz?1dx?2yz?1dy． 2. ?zf??yzf2??x1?f1??xy?x?11?f，?f2?1??xyf2??zf1??yzf2??xf1??xzf2??y??f? 3．略 4．略 1??yzf25． ?u?x?zexz?[xexz?ycosyz]sin2xsin2z． 6． dyx(6z?1dx??)2y(3z?1);dzdx?x3z?1． 6.6 多元函数微分学的几何应用 x??11．切线方程:2?1?y?1z?221?2；3
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法平面方程：x?y?2z??2?4?0． 2．(?1,1,?1);(?1,1,?13927). 3．切线方程：x?11?y?11?z?12; 法平面方程：x?y?2z?4． 4．x?4y?6z?21?0． 5．x?152y?z?16?0．6．略 6.8 多元函数极值及其求法 1．（1）极小值：z(1,1)??1． （2）极大值：f(0,0)?10． 2．728． 3．(85,165)． 4．V?8R2h27． 5. 两直角边长均为l2，最大周长为(1?2)l 综合练习题六 一、DDCBAAC 二、1．dudt?yxy?1???(t)?xylnx???(t)． 2．?2z?xe2y?x?yfuu???eyfuy???xeyfxu???fxy???eyfu?3．(1)fx?(0,0)?fy?(0,0)?0; (2) 不连续; (3) 可微． 4. 切线方程：x?116?y?2?6?z?11; 法平面方程：16x?6y?z?5?0． 5. x?2z?7或x?4y?6z?21 6．切点(11133,3,3),Vmin?2 天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物.
7. 长、宽为2米，高为98米. 高等数学期中自测题 一、单项选择题（每题3分，共15分） 1、D 2、C 3、D 4、A 5、C 二、填空题（每题3分，共15分） 1、263 2、{(x,y)|y2?2x?1?0} 3、1 4、dx?dy 5、x?11?y?12?z?13 三、计算题（共5小题，每题8分，共40分） 1、解：两平面平行?它们的法向量平行 故，取所求平面的法向量为n?(3,?7,5) 由点法式得所求平面方程为：3(x?3)?7(y?0)?5(z?1)?0 即：3x?7y?5z?4?0 2、解：线面垂直?直线的方向向量∥平面的法向量 故，取所求直线的方向向量为s?(2,1,?1) 由点向式得所求直线方程为：x?3y?1z?22?1??1 4
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?z2x3、解： ?2?xx?2y?z2 ?2?yx?2y1?r?x??r2?rx1?r?x?22r?x?x?r? 23rr?2rr2?y2?2rr2?z2同理可得： ?;2??y2r3?zr3?2r?2r?2rr2?x2r2?y2r2?z2?2?2?2???33?x?y?zrrr33r2?(x2?y2?z2)3r2?r22??? 33rrr3、解：令F(x,y,z)?x2?y2?z2?4z 则Fx?2x,Fy?2y,Fz?2z?4 ?z2y22y24、解： ??3ln(3y?2x)?2?xxx(3y?2x)?z2y3y ?2ln(3y?2x)?2?yxx(3y?2x)dz?zdx?zdy???? dt?xdt?ydt25、解：?esint?2t3(cost?6t2) 四、综合题（共5小题，每题6分，共30分） 1、证：设P(x,y)沿直线y?kx趋于点(0,0)，则有 FyFx?zx?zy， ???????xFz2?z?yFz2?zdz?xydx?dy 2?z2?zk2x3k2limf(x,y)?lim3? 3x?0x?0x?k3x31?ky?kxk值不同，极限不同，故函数在(0,0)点的极限4、解：设切点为M(x0,y0,z0) 曲面在该点的法向量为 n?(x,2y,1)不存在. 因此，f(x,y)在点(0,0)处不连续. 由题意得：M?(x0,2y0,1) x02y0111???x0?,y0? 112243 16?r1x2、证：??2x? ?x2x2?y2?z2r?2r???r???x??????? ?x2?x??x??x?r?天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物.
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带入曲面方程得：z0??曲面在该点的法向量为n??,,1? ?11??22?