[基础达标]
→
1．下列各式中不能化简为PQ的是( ) →→→A．AB＋(PA＋BQ)
→→→→B．(AB＋PC)＋(BA－QC)
→→→→→→C．QC－QP＋CQ D．PA＋AB－BQ
→→→→→→→→→→→→→→→
解析：选D.AB＋(PA＋BQ)＝AB＋BQ＋PA＝PA＋AQ＝PQ；(AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB＋BA)→→→→→→→→→→→＋(PC－QC)＝PC＋CQ＝PQ；QC－QP＋CQ＝PC＋CQ＝PQ；
→→→→→PA＋AB－BQ＝PB－BQ， →→→
显然由PB－BQ得不出PQ， →
所以不能化简为PQ的式子是D.
2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a
解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
→
3．(2019·浙江省新高考学科基础测试)设点M是线段AB的中点，点C在直线AB外，|AB|＝6，→→→→→
|CA＋CB|＝|CA－CB|，则|CM|＝( )
A．12 C．3
B．6 3D．
2
→→→→→→→→
解析：选C.因为|CA＋CB|＝2|CM|，|CA－CB|＝|BA|，所以2|CM|＝|BA|＝6， →
所以|CM|＝3，故选C.
4．已知a，b是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是( ) A．|a|＋|b|≥|a－b| B．|a·b|≤|a|·|b|
C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 D．(a－b)3＝a3－3a2·b＋3a·b2－b3
解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以A正确； 因为|a·b|＝|a||b||cos a，b|，又|cos a，b|≤1， 所以|a·b|≤|a||b|恒成立，B正确；
由向量数量积的运算，得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，C正确；根据排除法，故选D.
5．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q， 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线， 即a＝λb，且λ＞0，故q
p.
所以p是q的充分不必要条件，故选A. 6．(2019·温州市普通高中模考)已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于→→→
点D，若OC＝λOA＋μOB(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0，1) C．(1，2 ]
B．(1，＋∞) D．(0，2 )
→→→→
解析：选B.由题意可得OD＝kOC＝kλOA＋kμOB(0＜k＜1)，又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ1
＝1，则λ＋μ＝＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．
k
→→→→
7．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．
解析：
→→→→→→→→→
如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b. 答案：b－a －a－b
→→→
8．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是________．
→→→→→→→→→
解析：BC＝AC－AB，当AB，AC同向时，|BC|＝8－5＝3；当AB，AC反向时，|BC|＝8＋5＝13；→→→→
当AB，AC不共线时，3＜|BC|＜13.综上可知3≤|BC|≤13.
答案：[3，13]
→→→→
9．(2019·温州质检)如图所示，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG＝2GO，设CD∥AG，→1→→
若AD＝AB＋λAC(λ∈R)，则λ的值为 ________．
5
→→→1→2→1→1→→→→→
解析：因为BG＝2GO，所以AG＝AB＋AO＝AB＋AC，又CD∥AG，可设CD＝mAG，从而
3333m→m→m1m6→→→→m→m→→1→→1＋?AC＋AB.因为AD＝AB＋λAC，AD＝AC＋CD＝AC＋AB＋AC＝?所以＝，λ＝1＋＝. ?3?33353535
6答案： 5
→→→
10．(2019·杭州中学高三月考)已知P为△ABC内一点，且5AP－2AB－AC＝0，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于________．
→→→
解析：因为5AP－2AB－AC＝0， →2→1→所以AP＝AB＋AC，
55
5→2→1→→
延长AP交BC于D，则AP＝AB＋AC＝AD，
3332
从而可以得到D是BC边的三等分点，且CD＝CB，
3
232
设点B到边AC的距离为d，则点P到边AC的距离为×d＝d，
3552
所以△PAC的面积与△ABC的面积之比为.
52答案： 5
→→→→
11．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n11
∈R，求＋的值．
nm
→→→1→→→→→→1
解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝(a＋b)，PQ＝OQ－OP＝nb－ma，PG＝OG－OP＝(a＋b)
3311
－m?a＋b. －ma＝??3?3
→→由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG， 11
－m?a＋λb， 即nb－ma＝λ??3?3
?
从而?1
n＝?3λ，
1?－m＝λ??3－m?，
11
消去λ，得＋＝3.
nm
→
12.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，→→→AC＝b，试用a，b表示AD，AG.
→1→→11解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.
222
→→→→2→→1→→AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)
332→1→→1→1→11
＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b. 333333
[能力提升]
→→
1．设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积的比值是( ) 1A． 32C． 3
1B．
23D．
4
→|CP|2→→
解析：选B.因为CP＝2PA，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相
→1|PA|→
S△PAB|PA|1
等，所以＝＝. S△PBC→2
|CP|
2．(2019·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE→→→
上，若AP＝xAB＋yAC，则xy的取值范围是( )
14?A．??9，9? 21?C．??9，2?
11?B．??9，4? 21?D．??9，4?
21→→→
－≤λ≤－?，所以AB解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使PB＝λBC?3??3
??y＝－λ12→→→→→→
－AP＝λ(AC－AB)，所以AP＝－λAC＋(λ＋1)AB，则?，所以x＋y＝1且≤x≤，于是xy＝
33??x＝λ＋1
1111122
x－?＋，所以当x＝时，xy取得最大值；当x＝或x＝时，xy取得最小值，所x(1－x)＝－??2?42433921?以xy的取值范围为??9，4?，故选D.
3．(2019·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分→→→→
别交直线AB的延长线，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n＝________．
2
|BG||BM|
解析：作BG∥AC，则BG∥NC，＝.
|AN||AM|因为O是BC的中点，所以△NOC≌△GOB，
所以|BG|＝|NC|，又因为|AC|＝n|AN|， 所以|NC|＝(n－1)|AN|，所以
|BG|
＝n－1. |AN|
因为|AB|＝m|AM|，所以|BM|＝(1－m)|AM|， |BM|所以＝1－m，所以n－1＝1－m，m＋n＝2.
|AM|
答案：2 4. (2019·温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，11→→→
CD上的点，且满足2＋2＝1，若AC＝xAM＋yAN，则x＋y的最小值为________．
CMCN
11
解析：连接MN交AC于点G，由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，所以1＝2＋2＝
CMCNMN2
，
CM2·CN2即MN＝CM·CN，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆y→?→→→→?xAM＋AN的一条切线．因为AC＝xAM＋yAN＝(x＋y)·x＋y?， ?x＋y
→→所以由共线定理知，AC＝(x＋y)AG， →|AC|5
所以x＋y＝＝，
→→|AG||AG|→
又因为|AG|max＝5－1＝4， 5
所以x＋y的最小值为.
45答案： 4
→→
5．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若AB＝a，BC＝b，→→AB＝2DC.
→
(1)用a，b表示AM； (2)证明A，M，C三点共线．