上海市延安中学2015年度第一学期开学摸底考试
高三年级 数学
一．填空题4分每题共56分 二．
1.复数z=1-3i（i是虚数单位）的虚部是 -3
2.设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=_｛3，10，1｝____ 3.已知函数g?x??2x，且有g(a)g(b)?2,若a>0且b>0,则ab的最大值是 _0.25_____ 4.已知对数不等式1?5.函数y=tan??1xa?x?0的解集是（，9），则实数a 的值为__2____ log3log33???π3π?π?-x?的单调递减区间是_?xkπ-?x?kπ?，k?z?_____ 44?4?6.数列｛an｝满足
?111a1?2a???nan?2n?5，则an=2n+1 222???7.已知向量a??3,?4?,b??0,?1?,则向量a在向量b的方向上的投影是4
8.若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间?0，?上有两个不同的实数解，则实数k的取值
?π??2??2???0，范围为
?2? ??9.圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角行，如果随机选择了3个点，则刚好构成三角形的概率是10.若?1-3x?1 32015?a0?a1x?a2x2??a2015x2015,则a2015a1a2?2???2015=-1 33311.若无穷等比数列｛an｝的各项公比q,则首项a1的范围是?-，0?
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0,f(x)=(x-2)(x-3)+0.02,则函数f(x)在R
上的零点个数共有5个
13.已知关于t的一元二次方程t??2?i?t?2xy??x?y?i?0，当方程有实根时，则点x,y
2?1??4?的轨迹方程为x?y?2y?2x?0
22x2y222214.如图，F为双曲线2?2?1?b?a?0?的右焦点，过F作直线l与圆x?y?b切
ab于点M,与双曲线交于点P,且M恰为线段PF的中点，则双曲线的渐进方程是y??2
二，选择题5分每题共20分
15.若AB?BC?AB?0，则?ABC必定是（B） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角行
16.如果一组数据x1,x2,x3,?,xn的平均数是x,方差是?2
2，则数据
3x1?5,3x2?5,3x3?5,?,3xn?5的平均数和方差分别是（D）
A.x和? B.3x?5和3?
C.3x?5和9??30??25 D.3x?5和9?
17.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中地面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（B） A.
222233333 B. C. D. 44123?xn?1?yn?xn18.在平面直角坐标系中，定义?n?N?为点pn?xn,yn?到点pn?1?xn?1,yn?1??yn?1?yn?xn??的一个变换，我们把它称为点变换。已知
p1?1,0?,p2?x2,y2?,?,pn?xn,yn?,pn?1?xn?1,yn?1?n?N?是经过点变换得到的一列点，设
??an?pnpn?1，则数列?an?的前n项的和为sn，那么limA.2 B.2?2 C.2?2 D.1?2
sn的值是（C）
n??an
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 已知△ABC的周长为4（
+1），且sinB+sinC=
sinA．
（1）求边长a的值；
（2）若S△ABC=3sinA，求角A的大小（结果用反三角函数值表示）． 解析
（1）利用正弦定理，将角转化为边之间的关系，利用周长即可求出a的值．
（2）利用三角形的面积公式，求出b，c的关系，利用余弦定理即可求出A的大小． 答案
解：（1）∵sinB+sinC=∵a+b+c=4（
sinA，∴由正弦定理得，b+c=a，（*）
+1），∴解得a=4；
（2）由S△ABC=bcsinA=3sinA，得bc=6，
22
两边平方（*）式，求得b+c=20，
由余弦定理，cosA=
=，故A=arccos．
20本小题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1，且这个几何体的体积为10． （Ⅰ）求棱AA1的长；
（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值． 答案 解：（Ⅰ）设AA1=h， 由题设-=10，
=
∴
即，解得h=3．
故A1A的长为3．
（Ⅱ）∵在长方体中，A1D1∥BC，
∴∠O1BC为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）． 在△O1BC中，AB=BC=2，A1A=3，
∴AA1=BC1=∴
，，
=，
则cos∠O1BC===．
∴异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为
．
21(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数
（a，b为常数），
（1）若b=1，解不等式f（x-1）＞0； （2）当x∈[-1，2]时，f（x）的值域为 答案
，求a，b的值．
解：（1）
①1-a＞0，即a＜1时，不等式的解为：x＞1-a或x＜0 ②1-a=0，即a=1时，不等式的解为：x∈R且x≠0 ③1-a＜0，即a＞1时，不等式的解为：x＞0或x＜1-a
（2）
①a＞b时，f（x）单调递减，所以②a=b时，不符合题意
③a＜b时，f（x）单调递增，所以
22（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）
已知F1，F2为椭圆C：
垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d． （1）证明：d，b，a 成等比数列； （2）若M的坐标为（直线L的方程． 答案
），求椭圆C的方程；
，求
（3）在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若
的左右焦点，O是坐标原点，过F2作
（1）由条件知M点的坐标为（c，y0），其中|y0|=d，知由此能证明d，b，a成等比数列．
，d=b?，
（2）由条件知，知，由此能求出椭圆方程． ，-1）、B（-，1），所以
（3）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），当l⊥x轴时，A（-． 设直线l的方程为y=k（x+
），代入椭圆方程得
再由韦达定理能够推导出直线l
的方程．
答案 解：（1）证明：由条件知M点的坐标为（c，y0），其中|y0|=d， ∴∴
，d=b?
，…
，即d，b，a成等比数列． …