2012
试题汇集
1
各省高中数学竞赛
2012各省数学竞赛汇集
目录
1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷-
2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级） 3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级） 4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷 5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷 6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷
7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级） 8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷 9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷- 10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷 11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷 12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷 页
13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级） 14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）
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15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（70分）
1、当x?[?3,3]时，函数f(x)?|x3?3x|的最大值为_____.
????????????????2、在?ABC中，已知AC?BC?12,AC?BA??4,则AC?_______.
3、从集合?3,4,5,6,7,8?中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.
4、已知a是实数，方程x2?(4?i)x?4?ai?0的一个实根是b（i是虚部单位），则|a?bi|的值为________.
5、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:x212?y24?1的右焦点为F，一条过原点O且倾斜角
为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若?FAB的面积为83，则直线的斜率为_______. 6、已知a是正实数，k?alga的取值范围是________.
7、在四面体ABCD中，AB?AC?AD?DB?5,BC?3,CD?4该四面体的体积为____________. 8
、
已
知
等
差
数
列
?an?和等比数列
?bn?满足：
a1?b13?,a2?ab37??,b31?5,a4?an3?b5?______. b则?,n49、将27,37,47,48,55，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有________种.
10、三角形的周长为31，三边a,b,c均为整数，且a?b?c，则满足条件的三元数组(a,b,c)的个数为____.
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在?ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，证明： （1）bcosC?ccosB?a
3
（2）
cosA?cosBa?b2sin?c2C2
a|lx?nx12、已知a,b为实数，a?2，函数f(x)??b|x?(.若0)f(1)?e?1,f(2)?（1）求实数a,b；
e2?ln2?1.
（2）求函数f(x)的单调区间；
（3）若实数c,d满足c?d,cd?1，求证：f(c)?f(d) 13、如图，半径为1的圆O上有一定点M为圆O上的动点.在射线
OM上有一动点B,AB?1,OB?1.线段AB交圆O于另一点C，D为线段的OB中点.求线段CD长的取值范围.
14、设是a,b,c,d正整数，a,b是方程x?(d?c)x?cd?0的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形.
22012高中数学联赛江苏赛区初赛试题答案
一、填空题（70分）
1、当x?[?3,3]时，函数f(x)?|x3?3x|的最大值为__18___.
????????????????2、在?ABC中，已知AC?BC?12,AC?BA??4,则AC?___4____.
3、从集合?3,4,5,6,7,8?中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____
310_______.
4、已知a是实数，方程x2?(4?i)x?4?ai?0的一个实根是b（i是虚部单位），则|a?bi|的值为_____22___. 5、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:x212?y24?1的右焦点为F，一条过原点O且倾斜角
4
为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若?FAB的面积为83，则直线的斜率为
___
12____.
lga6、已知a是正实数，k?a的取值范围是___[1,??)_____.
7、在四面体ABCD中，AB?AC?AD?DB?5,BC?3,CD?4该四面体的体积为_____53_______. 8
、
已
知
等
差
数
列
?an?和等比数列
?bn?n?1满足：
a1?b13?,*a2?ba7??,b31?53,a4?b4则?3an?5bn,?___3?2n___.
（n?N）
9、将27,37,47,48,55，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.
10、三角形的周长为31，三边a,b,c均为整数，且a?b?c，则满足条件的三元数组(a,b,c)的个数为__24___.
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在?ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，证明： （1）bcosC?ccosB?a
（2）
cosA?cosBa?b2sin?c2C2
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