重庆大学全日制学术型硕士研究生 《数理统计》（A）课程试卷
2013-2014学年第一学期（秋）
2请保留四位小数，部分下侧分位数为：u0.95?1.65，u0.99?2.33，?0.95(1)?3.841，
f0.95(3,6)?9.78
一、（18分）设X1，X2，…，X64是来自总体N（0，?）的样本，X，S分别是样本
2X12?X2均值和样本方差：（1）求参数c满足P{X?S?c}?0.1；（2）求概率P{2?1}；2X3?X422?32?(3)求D??(X32?i?Xi?2X)2?。(请写出计算过程)
?i?1?解：（1）?nXn?X?n?c}?0.1 得~t(n?1)?P{X?S?c}?P{SSn?c?t0.95(63) 故c?1.658?0.2063
（2）?X~N(0,?)?(X1/?)2?(X2/?)2~?2(2) 同理(X3/?)2?(X4/?)2~?2(2)
2X12?X22(X1/?)2?(X2/?)2(X3/?)2?(X4/?)2X12?X2?22?/~F(2,2) P{2?1}?P{F(2,2)?1} 2X3?X422X3?X4221X12?X2X12?X2且F0.5(2,2)??F0.5(2,2)?1 得P{2?1}?1?P{2?1}?0.5 22F0.5(2,2)X3?X4X3?X4n1n22(3)令Yi?Xi?Xn?i~N(2?,2?)，Y??Yi?2X ?T??(Yi?Y)?(n?1)SY
ni?1i?12232?322?D??(X32?i?Xi?2X)??DT?D[?(Yi?Y)2] ?Yi?Y~N(0,2?2(1?1/n))
i?1?i?1??Yi?Y2?(1?1/n)22~N(0,1)32
=D[2?(1?1/n)?(i?1Yi?Y2?2(1?1/n))2?4?4(1?1/n)2D(?2(32))?256?4(1?1/32)2
2二、（26分）设X1，X2，…，Xn是来自总体X~N(2,?)(??0)的样本，
?；b（1）求参数b?(A?2)2的矩估计量bP{X?A}?0.95。1（2）求参数的最大似然估计?，并评价b?的无偏性、有效性、相合性；量b（3）求参数b的置信度是1??的置信区间。22（4）试确定检验问题：H0:b?b0,H1:b?b0(b0?0)的检验统计量和拒绝域。 解：?X~N(2,?)?2X?2?~N(0,1) 0.95?P{X?A}?P{X?2??A?2?}
?A?2?22?u0.95 即A?2??u0.95 （1）b?(A?2)2??2u0.95 且EX2?(EX)2?DX
n1n21n212??(???Xi?4?b ???4??Xi??Xi2?4)u0.95?1ni?1ni?1ni?1(2) A?2??u0.95?b???nbu0.95?1 f(x)?e2??(x?2)22?2?u0.952??e?2(x?2)2u0.952b建立似然
函数L(b)?(2?)un?2n0.95ben?i?1?22?(xi?2)2u0.952b2nu0.95nn lnL(b)??ln(2?)?nlnu0.95?lnb?(xi?2)2 ?222bi?1dlnL(b)n1u????db2b2b2i?n0.952i?1n2(x?2)?(u0.95?i22b?(x?2)ii?1n2n??1(x?2)2u2 ?b) b?i20.95ni?1n22nuu220.950.95?)??是参数b的无偏估计。无偏性：E(b E(?(xi?2))??n?2?u0.95?2?b?b22nni?1n有效性： ?dlnL(b)n2?2(u0.95db2b?(x?2)ii?12n?b)且c(b)?n仅是b的函数； 2b22nu0.95?)??是b的有效估计量。 又E(bE(?(xi?2)2)?b ?b22ni?12nu0.95c(b)g'(b)1g'(b)2b2'2相合性：因为T? E(?(xi?2))，g(b)?1，所以I(b)??2,DT??nn2bc(b)ni?12b2??是b的相合估计量。 DT?D(b2)??0(n??) 故T?b2n（3）?b??u0.95?b的置信度是1??的置信区间既是?的置信度1??的置信区间。因
22均值?已知设样本方差为S，得?置信度为1??的置信区间
222(n?1)S2(n?1)S263S263S2(2,2)?(2,2) ?b的置信度是1??的置信区间为 ??(n?1)??(n?1)??(63)??(63)1?222u0.95?2?(63)21?2222u0.95??(63)(u220.952S??1?263选
择
检
,u220.952S??263计
量
：
) (n?1)S2~?2(n?1)（4）验统
?2；拒绝域
Ko?{u220.952S2?2?u0.95??1?263或u220.952S22??u0.95??263)
三、（14分）假设飞机上用的铝制加强杆有两种类型A与B，它，它们的抗拉强度（kg/mm2）
22分别服从N(?A,?A由生产过程知其标准差?A?1.2,?B?1.5（1）若从A、)与N(?B,?B)。
B两类加强杆中抽取的样本容量相同，那么要使得?A??B的0.90的置信区间长度不超过2.5kg/mm2需要多少样本量？(2)给出统计假设H0:?A?1.1?B,?A?1.1?B的检验统计量和拒绝域。若对A，B两类加强杆各自独立地抽取了7根，测得抗拉强度的样本均值分别是87.6与74.5，试对统计假设进行检验（显著性水平取0. 1）。 解：1）设X、Y分别表示铝制加强杆两种类型A、B的抗拉强度，X、Y为样本均值。则
2?A?X、Y相互独立且X~N(?A,?P{X?Y?(?A??B)22(?A??A)/nn)，X~N(?B,2?Bn)?X?Y~N(?A??B,22?A??Bn)
22??B)/n?2.5 ?u0.95}?0.90 由题置信区间的长度2u0.95(?A解得样本容量n?7。
222）由题意知X?87.6，Y?74.5 当H0成立时X?Y~N(0.1?B,(?A??B)/n)
拒绝域K0?{X?Y?0.1?B)(???)/n2A2A?u0.9}
四、（12分）用铸造与锻造两种方法制造某种零件，从各自制造的零件中分别随机抽取100只，经检验发现铸造的有10个不合格品，锻造有3个不合格品。试问在显著水平??0.05下，能否认为零件的不合格率与制造方法有关？ 解：根据题意，我们提出如下统计假设：
H0：零件的不合格率与制造方法无关；H1：零件的不合格率与制造方法有关。
知n?200,m?2,r?0.在显著性水平??0.05下，选择检验统计量??2(vi?npi)， ?npii?122拒绝域为：{?2??0.95(1)?3.841}
根据原假设，不同制造方法下零件不合格品的理论频数np?6.5，?2的样本值为
(vi?npi)(10?6.5)2(6.5?3)22??????1.8846??0.95(1)?3.841落在接受域内，故np6.56.5i?1i22认为零件的不合格率与制造方法无关。
五（18分）设样本(xi,Yi)，i?1,2?,n满足Yi?2??1xi??i,?i~N(0,?2)。（1）求参数
?；（2）分析??的分布；（3）求ES2，其中?1的最小二乘估计量?E11?x,i?1,2,?,n.。?i)2,y?i?2?? S??(Yi?y1i2Ei?1n2n?SE解：（1）由题得：S??(yi?2??1xi) ??2?xi(yi?2??1xi)
??1i?1i?12En2n2n?SE??令?0??2?xi(yi?2??1xi)?0 得?1??1i?1?(xy?2x)iiii?1?xi?1n
2i??（2）?1?(xy?2x)iiii?1n?xi?1n2i，Yi?2??1xi??i,Yi~N(2??1xi,?2)
?~N(E??,D??)服从正态分布。 由正态分布的性质推知?111nnnn?n???(xiYi?2xi)?E[?xiYi??2xi]?xiEYi??2xii?1??E?i?1??i?1ni?1 E??i?11nn??xi2xi2xi2?????i?1i?1i?1????? ?EYi?E(2??1xi??i)?2??1xi ?E?11nnn?n?2??(xiYi?2xi)?D[?xiYi??2xi]?xiDYi?2i?1i?1i?1i?1???D?1?D??n?n nn??xi2(?xi2)2(?xi2)2xi2????i?1i?1i?1i?1??nnn?x)?E2(Y?2???x)]?[D(Y?2???x)] （3）ES?E?(Yi?2??1xi)??[D(Yi?2???i1ii1i1i2E2i?1i?1i?1?x)]?[DY?D(??x)?2cov(Y,??x)] ??[D(Yi???i1i1ii1ii?1i?1nn??i?1nxi2?xi?1n2i??2?2i?1nxi2?xi?1ni?1n?2?n?2??2?2?2?(n?1)?22i?x)?cov(Y,cov(Yi,?1iixi2?(xY?2x)iini?xi?1xi)?xi2i?xi?1n2icov(Yi,?(xiYi?2xi))?i?1nxi?xi?1n2icov(Yi,?xiYi)i?1n
??xi?1ncov(Yi,Yi)?xi22i?xi?1n?22i则ES?n??2E2?i?1nxi2?xi?1n2i??2?2i?1nxi2?xi?1n?2?n?2??2?2?2?(n?1)?2
2i六、（12分）某食品公司对一种食品设计了四种新的包装。为了考察哪种包装最受顾客欢迎，选了10个地段繁华程度相似，规模相近的商店做试验，其中两种包装各指定两个商店销售，另两种包装各指定三个商店销售。在试验期内各店货架排放的位置、空间都相同，营业员的促销方法也基本相同，经过一段时间，记录其销售量数据（见下表）：
包装类型 1
2 3 4
销售量 12 14 19 24
18 12 17 30
13 21
若使用单因素方差分析（1）指出方差分析中的指标、因素和水平；（2）指出方差分析中假设检验的原假设H0和备择假设H1;（3）指出方差分析方法使用的条件，并完成下列方差分析表，分析哪种包装方式效果好。（??0.05） 方差来源 因素 随机误差 总和 DF（自由度） S2（平方和） 258 46 304 S2均方差 F值 解;(1)方差分析中的指标是该食品的销售量；因素为该食品的包装；水平为1、2、3、4这四种包装。
（2）记?1、?2、?3、?4分别为四种包装下食品销售量的均值，提出如下假设： H0:?1??2??3??4 H1:?、?、?、?不全相等1234（3）方差分析表使用的条件：1）每个水平服从正态分布且相互独立，方差相同。
2）每个水平下取的样本独立同分布且有代表性。