第13章 静电场中的导体和电解质
一、选择题
1(D)，2(A)，3(C)，4(B)，5(C)
二、填空题
(1). ??(x，y，z)/?0，与导体表面垂直朝外(? > 0) 或 与导体表面垂直朝里(? < 0).
?(2). ??，????????0??r )； (3).
q ；
4??0R(4). P ，－P ，0； (5). ?r ，?r
三、计算题
1.如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求： ra (1) 球壳内外表面上的电荷． QqOb (2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O点处的总电势．
解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+Q． (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的 距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为 U?q? ?dq4??0a??q
4??0a (3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点 产生的电势的代数和 UO?Uq?U?q?UQ?q ?
2. 如图所示，一球形电容器，内球壳半径为R1，外球壳半径为R2 (R2＜2R1)，其间充有相对介电常数分别为?r1和?r2的两层各向同性均匀电介质(?r2＝?r1 / 2)，其界面半径为R．若两种电介质的击穿电场强度相同，问：
(1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？ (2) 该电容器能承受多高的电压？
解：(1) 设两球壳上分别带电荷＋Q和－Q，则其间电位移的大小为 D＝Q / (4?r2) 两层介质中的场强大小分别为
E1 = Q / (4??0 ?r1r2) E2 = Q / (4??0 ?r2r2)
1
qqQ?qq111Q ? ??(??)?4??0r4??0a4??0b4??0rab4??0b?r2?r1R1RORR2 在两层介质中场强最大处在各自内表面处，即
E1M = Q / (4??0 ?r1R12)， E2M = Q / (4??0 ?r2R2) 两者比较可得 E1M/E2M??r2R2/?r1R12?R2/2R12
已知R2＜2R1，可得E1M＜E2M，可见外层介质先击穿．
(2) 当外层介质中最大场强达击穿电场强度EM时，球壳上有最大电荷．
QM = 4??0?r2R2EM
此时，两球壳间电压(即最高电压)为 U12? ??????RR1??R2??E1?dr??E2?dr
RRQM4??0?r1QMdr??R1r24??0?r2?R2R?R?R1R2?R?dr?? ??RE?r2M?2?r?r2R2???r1R1
3. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R1，外筒半径为R2 (R2＜2 R1)，其间充有相对介电常量分别为?r1和?r2＝?r1 / 2的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R．若两种介质的击穿电场强度相同，问：
(1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？
(2) 该电容器能承受多高的电压？
?r2?r1R2ORR1
解：(1) 设内、外筒单位长度带电荷为＋?和－?．两筒间电位移的大小为 D＝? / (2?r) 在两层介质中的场强大小分别为
E1 = ? / (2??0 ?r1r)， E2 = ? / (2??0 ?r2r) 在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即
E1M = ? / (2??0 ?r1R1)， E2M = ? / (2??0 ?r2R) 可得 E1M / E2M = ?r2R / (?r1R1) = R / (2R1)
已知 R1＜2 R1， 可见 E1M＜E2M，因此外层介质先击穿． (2) 当内筒上电量达到?M，使E2M＝EM时，即被击穿，
? ?M = 2??0 ?r2REM 此时．两筒间电压(即最高电压)为：
U12??RR1R?1?M?MR2?R1?dr??dr??r2REM?ln?ln??? R2???r2??0?r1rR?R0r21r2?r1?2
???
4. 如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是L，中间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．内、外筒分别带有等量异号电荷+Q和-Q．设 (b- a) << a，L >> b，可以忽略边缘效应，求： (1) 圆柱形电容器的电容；
(2) 电容器贮存的能量．
baL 2
解：由题给条件 (b?a)??a和L??b，忽略边缘效应, 应用高斯定理可求出两 筒之间的场强为： E?Q/(2??0?rLr)
Qbdr ln??2???La2???Lr0r0ra电容器的电容 C?Q/U?(2??0?rL)/[ln(b/a)]
12电容器贮存的能量 W?CU ?[Q2/(4??0?rL)]ln(b/a)
2两筒间的电势差 U?
5. 一平行板电容器，其极板面积为S，两板间距离为d (d< bQd1d2?r1?r2d ?r1和?r2，厚度分别为d1和d2，且d1＋d2＝d，如图所示．设两极板上所带 电荷分别为＋Q和－Q，求： (1) 电容器的电容． (2) 电容器储存的能量． 解：(1) 两极板间电位移的大小为 D＝?＝Q / S 在介质中的场强大小分别为 E1 = D / (?0?r1) = Q / (?0?r1S) E2 = D / (?0?r2) = Q / (?0?r2S) 两板间电势差 Q?d1d2?Q?d1?r2?d2?r1??? ?????0?r1?r2S?0S??r1?r2??0?r1?r2S电容 C = Q / U12? d1?r2?d2?r1 U12?E1d1?E2d2? ?d1?r2?d2?r1?Q212 (2) 电场能量 W?CU12? 22?0?r1?r2S 6. 图示一半径为R的导体球，带有电荷Q，在它外面同心地包一层各向同性的均匀电介质球壳，其内外半径分别为a和b，相对介电常量为?r．求电介质中的电极化强度P和介质表面上的束缚电荷面密度． ?rQRR b a?解：由D的高斯定理求出导体球外的电位移为 D = Q / (4?r2) (r＞R) 介质内的场强 E = D / (?0?r)=Q / (4??0?r r2) (a≤r≤b) 电极化强度 P = ?0?eE? ??r?1?Q (a≤r≤b) 4??rr23 介质内外表面上的束缚电荷面密度分别是 4??ra2???1?Q ??Pbcos0°?r ?b4??rb2??Pacos180°??a?1??r?Q 7. 如图所示，一平板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为?1和?2．当电容器带电荷±Q时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为?1的介质板抽出，试求外 +Q力所作的功． ?1 d解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为 2?1S2?2S C1? ，C2? dd2?1?2S串联后的等效电容为 C? d??1??2??2-Q Q2Q2d??1??2?带电荷±Q时，电容器的电场能量为 W? ?2C4?1?2SQ2d??0??2?将?1的介质板抽去后，电容器的能量为 W?? 4?0?2SQ2d?11????外力作功等于电势能增加，即 A??W?W??W?? 4S???1??0 8. 如图所示，将两极板间距离为d的平行板电容器垂直地插入到密度为?、相对介电常量为?r的液体电介质中．如维持两极板之间的电势差U不变，试求液体上升的高度h． 解：设极板宽度为L，液体未上升时的电容为 C0 = ?0HL / d 液体上升到h高度时的电容为 C??0dH h ?H?h?L???hL0rd????1?h???1?r?C0 dH??在U不变下，液体上升后极板上增加的电荷为 ?Q?CU?C0U??0??r?1?hLU/d 电源作功 A??QU??0??r?1?hLU2/d 液体上升后增加的电能 111CU2?C0U2??0??r?1?hLU2/d 22212液体上升后增加的重力势能 ?W2?L?gdh 2 ?W1? 4 ?0??r?1?U2因 A = ?W1+?W2，可解出 h? 2?gd 思考题1. 无限大均匀带电平面（面电荷密度为σ）两侧场强为E??/(2?0)，而在静电平衡状态下，导体表面（该处表面面电荷密度为σ）附近场强为E??/?0，为什么前者比后者小一半？ 参考解答： 关键是题目中两个式中的σ不是一回事。下面为了讨论方便，我们把导体表面的面电荷密度改为σ′，其附近的场强则写为E???/?0. 对于无限大均匀带电平面(面电荷密度为σ)，两侧场强为E??/(2?0).这里的 σ 是指带电平面单位面积上所带的电荷。 对于静电平衡状态下的导体，其表面附近的场强为E???/?0. 这里的 σ′是指带电导体表面某处单位面积上所带的电荷。 如果无限大均匀带电平面是一个静电平衡状态下的无限大均匀带电导体板，则σ是此导体板的单位面积上(包括导体板的两个表面)所带的电荷，而σ′仅是导体板的一个表面单位面积上所带的电荷。 在空间仅有此导体板（即导体板旁没有其他电荷和其他电场）的情形下，导体板的表面上电荷分布均匀，且有两表面上的面电荷密度相等。在此情况下两个面电荷密度间的关系为σ =2σ′。这样，题目中两个E式就统一了。 思考题2：由极性分子组成的液态电介质，其相对介电常量在温度升高时是增大还是减小？ 参考解答： 由极性分子组成的电介质（极性电介质）放在外电场中时，极性分子的固有电矩将沿外电场的方向取向而使电介质极化。由于极性分子还有无规则热运动存在，这种取向不可能完全整齐。 当电介质的温度升高时，极性分子的无规则热运动更加剧烈，取向更加不整齐，极化的 ???pi效果更差。此情形下，电极化强度P?将会比温度升高前减小。 ?V???在电介质中的电场E不太强时，各向同性电介质的P和E间的关系为 ??P??0(?r?1)E. 很明显，在同样的电场下，当温度升高后，相对介电常量εr要减小。 思考题3：为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为?r的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A、B为平板电容器的导体极板，S为极板面积，d0为两极板间的距离。试说明检测原理，并推出直接测量电容C与间接测量厚度d 之间的函数关系。如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？ 参考解答： 设极板带电q??0S， 5 两板电势差：?U?E无电介质(d0?d)?E有电介质d ?0?(d0?d)?0d ?0?0?rq?0?rs?则 C? ?Ud??r(d0?d)?dC??0?rS???S?rd0?0r介质的厚度为：d?r0 (?r?1)C?r?1(?r?1)C?U?实时地测量A、B间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度、通常 智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度。 如果待测材料是金属导体，其A、B间等效电容与导体材料的厚度分别为：C??0Sd?d， d?d?S0?0C. 0 6