第一章 函数与极限
函数是微积分的主要研究对象，而极限又是研究函数的基本工具，虽然极限的概念属了解内容，但是对与极限有关的概念与方法的正确理解与深刻思考，将有助于全部微积分内容的学习。在本章中我们将介绍极限的概念、性质和运算法则；介绍与极限概念密切相关、且在微积分运算中扮演重要角色的无穷小量；我们还将求得两个应用非常广泛的重要极限。学好这些内容，准确理解极限概念，熟练掌握极限运算法则，是学好微积分的基础。
本章的后半部分将通过极限引入函数的一类重要性质——连续性。连续性是对客观世界广泛存在的连续变动现象的数学描述。函数在一点处连续与函数在一个区间上的连续则分别描述了函数的微观性态和宏观性态，两者相辅相成，学好这节内容，对掌握微积分全部内容与技巧有重要的影响与作用。
第一节 函数的概念与性质
一、集合
1.集合概念
集合是最基本的数学概念之一.所谓集合,指的是具有一定性质的对象的全体,通常用大写英文字母A,B,X,Y等表示集合.集合中的对象称为该集合中的元素,通常用小写英文字母a,b,x,y等表示.
对于集合A,如果对象a是集合A的元素,则说a属于A,记作a?A；如果对象a不是集合A的元素,则称a不属于A,记作a?A.不含任何元素的集合称为空集,记作?.一个集合若其元素的个数是有限的，则称作有限集，否则称作无限集。集合的表示通常有两种方法，一种是列举法, 另一种是描述法.
下面这几个常用的数集可用列举法或描述法这样表示：
自然数集N?{1,2,3,?,n,?}， 整数集Z?{0,?1,?2,?3,?,?n,?}， 有理数集Q?{q,其中P?N?并且q?Z,p,q互质} p实数集R?xx是有理数或无理数
有时我们在表示数集的字母的右上方加上“*”、“+”、“-”等上标，来表示该数集的几个特定子集。以实数集为例，R?表示排除了数0的实数集；R?表示全体正实数组成的集合；R?表示全体负实数组成的集合。其他数集的情况类似，在此不再一一赘述。
设A,B是两个集合,如果A的所有元素都属于B,则称A是B的子集，记为
?? 1
A?B.例如N??Z?Q?R.显然对任何集合A，都有A?A。规定空集是任
何集合的子集，即??A。
2．集合运算
集合的基本运算有并、交、差、补四种。
设A,B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与
B的并集，记作A?B，即A?B?{xx?A或x?B}；
由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作
A?B，即A?B?{xx?A且x?B}；
由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集，记作
A\\B，即A\\B?{xx?A且x?B}。
有时在研究某个问题时，问题中所涉及的集合总是某个最大集合X的子集，此时称X是全集；当A?X时，称由X中不属于A的元素的全体组成的集合为A的补集或余集，并记为AC，即AC?{xx?X且x?A}。
例如偶数集关于整数集的补集为奇数集；有理数集Q关于实数集R的补集为无理数集。
3.区间与邻域
在高等数学课程中，最常遇到的实数集的子集是区间。
设a，b(a?b)是两个实数，则满足不等式a?x?b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的开区间，记为
(a,b)?{xa?x?b}；
满足不等式a?x?b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的闭区间，记为
[a,b]?{xa?x?b}；
满足不等式a?x?b或a?x?b称为以a，b为端点的半开半闭区间，分别记为
(a,b]?{xa?x?b}
2
或
[a,b)?{xa?x?b}。
上述几类区间的长度是有限的，称为有限区间。除此以外，还有下述几类无限区间（或无穷区间），引进记号??（读作正无穷大）及??（读作负无穷大），则可用类似地记号表示无限区间，例如
(a,??)?{xx?a}； (a,??)?{xx?a}； (??,b)?{xx?b}； (??,b]?{xx?b}
和(??,??)?{xx为任意实数｝(即实数集R)。
邻域也是一个经常用到的概念。以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。
设?是任一正数，则开区间(a??,a??)就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的?邻域，记作U(a,?)，即
U(a,?)?{xa???x?a??}。
点a称为这邻域的中心，?称为这邻域的半径（图1-3）
由于a???x?a??相当于x?a??，因此U(a,?)?{xx?a??}， 所以U(a,?)表示与点a的距离小于?的一切点x的全体。
点a的?邻域去掉中心a后，称为点a的去心?邻域，记作U(a,?)，即
U(a,?)?{xx?a??}。
??.为方便起见，把开区间(a??,a)称为a的左?邻域，把开区间(a,a??)称为点a的右δ邻域。
二、映射 1．映射概念
定义 设X,Y是两个给定的集合，如果按照某个确定的对应法则f，使对于集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中惟一确定的数y与之对应，那
3
么就称这个对应规则f是从集合X到集合Y的一个映射，记为
f：X?Y
其中y称为映射f下x的像，x称为映射f下y的一个原像，通常记y?f(x)。集合X称映射f的定义域，记作Df；而在映射f之下，X中元素x的像y的全体称为映射f的值域，记作Rf，即Rf?{yy?Y并且y?f(x),x?X}。
从映射定义看出，构成一个映射必须具备下列三个基本要素： （1）集合X，即定义域Df?X； （2）集合Y，即值域的范围：Rf?Y；
（3）对应法则f，使每一个x?X，有惟一确定的y?f(x)与之对应。
需要注意的是：
（1）映射要求元素的像必须是惟一的。
Y?R，例如，设X?R?，而对应法则f要求对每一个x?R?，它的像y?R且满足关系y2?x，这样的f不是映射，就是因为f不满足像的惟一性的要求。
（2）映射并不要求原像也具有惟一性。
例1 设X是平面上所有三角形的全体，Y是平面上所有圆的全体。因每个三角形都有惟一确定的外接圆，若定义对应法则f：y是三角形x的外接圆，则
f显然是一个映射，其定义域与值域分别为Df?X和Rf?Y。
例2 记X?{?,?,?}，Y?{a,b,c,d}，下面所规定的对应关系显然也是一个映射：f(?)?a，f(?)?b，f(?)?c，则f的定义域为Df?X?{?,?,?}，
Rf?{a,b,c}?Y。
例3 设f:R?R，对每个x?R，f(x)?x2。显然f是一个映射，f的定义域Df?R，值域Rf?{yy?0}，它是R的一个真子集。对于Rf中的元素y，除y?0外，它的原像不是惟一的。如y?4的原像就有x?2和x??2两个。
????????例4 设f:??,??[?1,1]，对每个x???,?，f(x)?sinx，易知f是
?22??22? 4
????一个映射，其定义域Df???,?，值域Rf?[?1,1]。
?22?定义 设f是从集合X到集合Y的映射，若f的原像也具有惟一性，即对X中的任意两个不同元素x1?x2，它们的像也满足y1?y2，则称f为X到Y的单射，如果映射f满足Rf?Y，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为
X到Y上的映射或满射；若映射f既是单射又是满射，则称f是双射（又称一
一映射）。
上面例1中的映射不是单射，是满射；例2中的映射是单射，不是满射；例3中的映射既不是满射，也不是单射；例4中的映射，既是单射，又是满射，因此是一一映射。
2．逆映射与复合映射
设f是X到Y的单射，则由定义，对每一个y?Rf，有惟一的x?X，适合
f(x)?y。于是可以定义一个从Rf到X的新映射g，即
g:Rf?x，
对每个y?Rf,规定g(y)?x，这x满足f(x)?y，这个映射g称为f的逆映射，记为f?1，其定义域Df?1?Rf，值域Rf?1?X。
?1显然，只要逆映射f设有两个映射
存在，它就一定是Rf到X上的双射。
g:X?Y1，
和
f:Y2?Z
如果Rg?U2?Df，那么就可以构造出一个新的对应法则，这还是一个映射。它将每个x?X映成f[g(x)]?Z，我们把这个映射称为g和f构成的复合映射，记作f?g，即f?g:X?Z
(f?g)(x)?f[g(x)]，x?X。
例5 设X?Y1?Y2?Y?R，映射g:X?Y1，对每一x?X，g(x)?sinx
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