?x?D） 都有
f(?x)?f(x) ，
则称f(x)为偶函数；如果对于任一x?D，都有
f(?x)??f(x)，
则称f(x)为奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称(如图1-13)。
函数y?sinx是奇函数，函数y?cosx是偶函数，函数y?sinx?cosx既非奇函数也不是偶函数。
1-13 例10 判断下列函数的奇偶性
?1?e?x,x?0（1）f(x)?ln(x?1?x)； （2）g(x)??x。
?e?1,x?02解 （1）因为f(?x)?ln(?x?1?(?x)2)?ln(?x?1?x2)
?ln1x?1?x2??ln(x?1?x2)??f(x)，
所以f(x)为奇函数。
?1?e?(?x),?x?0（2）因为g(?x)???x
?e?1,?x?0?1?ex,x?0???x ?e?1,x?0??g(x)
11
所以g(x)为奇函数。 （4）函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数l，使得对于任一x?D有
(x?l)?D，且
f(x?l)?f(x)
恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。
对三角函数而言，y?sinx、y?cosx都是以2?为周期的周期函数，而
y?tanx、y?cotx则是以?为周期的周期函数。
但并非每个周期函数都有最小周期。 例11 狄利克雷(Dirichlet)函数
?0,x?Q,D(x)??C1,x?Q?
容易判断这是一个周期函数，任何正有理数都是它的周期。因为不存在最小正有理数，所以它不可能有最小周期。
对于周期函数，我们只需要研究它在一个周期上的性质，就可以利用周期性得到它在其他范围上的性质。
关于函数的性质， 除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。
3反函数与复合函数
反函数是逆映射的特例。
设函数是单射，则它存在逆映射f?1:f(D)?D，称此映射f反函数。
按此定义，对每个y?f(D)，有惟一的x?D，使得f(x)?y，于是有
?1为函数f的
f?1(y)?x。 这就是说，反函数f?1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的。
13例如，函数y?x，x?R是单射，所以它的反函数存在，其反函数为x?y，
y?R。
3若f是定义在D上的单调函数，则f:D?f(D)是单射，于是f的反函数
12
f?1必存在。
习惯上自变量用x表示，因变量用y表示，于是y?x3，x?R的反函数通常
写作y?x，x?R。
一般地，y?f(x)，x?D的反函数记成y?f?1(x)，x?f(D)。
相对于反函数y?f?1(x)来说，原来的函数y?f(x)称为直接函数，把直接函数y?f(x)和它的反函数y?f?1(x)的图形画在同一个坐标面上，这两个图形关于直线y?x对称（如图1-14）。
13
1-14
复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述。
设函数y?f(u)的定义域为D1，函数u?g(x)在D上有定义，且g(D)?D1，则由下式确定的函数
y?f[g(x)]，x?D
称为由函数u?g(x)和函数y?f(u)构成的复合函数，它的定义域为D，变量u称为中间变量。
函数g与函数f构成的复合函数通常记为f?g，即 (f?g)(x)?f[g(x)]。
与复合映射一样，g与f能构成复合函数的f?g的条件是：函数g在D上
13
的值域g(D)必须含在f的定义域Df内，即g(D)?Df。否则，不能构成复合映射。例如，y?f(u)?u的定义域为Df?[0,??)，u?g(x)?tanx的值域为
Rg?(??,??)，显然Rg?Df，故g与f不能构成复合函数。但是，如果将函
1数g限制在它的定义域的一个子集D?{xk??x?(k?)?,k?Z}上，令
2g?(x)?tanx，x?D，那么Rg??g?(D)?Df，g?与f就可以构成复合函数
(f?g?)(x)?tanx，x?D。
习惯上为了简便起见，仍称函数tanx是由函数u?tanx与函数y?u构成的复合函数。这里函数u?tanx应理解成：u?tanx，x?D。以后，我们采取这种习惯说法。例如，我们称函数u?x?1与函数y?lnu构成复合函数ln(x?1)，它的定义域不是u?x?1的自然定义域R，而是R的一个子集D?(?1,??)。
有时，也会遇到两个以上函数所构成的复合函数，只要它们顺次满足构成复合函数的条件。例如，函数y?u，u?cotv，v?这里u及v都是中间变量，复合函数的定义域是
D?{x2k??x?(2k?1)?,k?Z}，而不是v?xx可构成复合函数y?cot，22x的自然定义域R，D是R的2一个非空子集。
4 函数的运算 设函数
4 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这5类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。
（1）幂函数 y?x????R?
它的定义域和值域依?的取值不同而不同，但是无论?取何值，幂函数在
x??0,???内总有定义。当??N或??函数的图形如图所示。
1，n?N时，定义域为R。常见的幂2n?1（2）指数函数 y?ax?a?0，a?1?
???，值域为?0，???。指数函数的图形如图1-15所示． 它的定义域为???，（3）对数函数 y?logax
?a?0，a?1?
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定义域为?0，值域为???，对数函数y?logax是指数函数y?ax的???，???。反函数。其图形见图1-16。
在工程中，常以无理数e＝2.718 281 828?作为指数函数和对数函数的底，并且记ex?expx，logex?lnx，而后者称为自然对数函数。
图1-15
图1-16
（4）三角函数
三角函数有正弦函数y?sinx、余弦函数y?cosx、正切函数y?tanx、余切函数y?cotx、正割函数y?secx和余割函数y?cscx。正弦函数y?sinx和余弦函数y?cosx的定义域均是(??,??)；正切函数y?tanx和正割函数
y?secx的定义域均是{xx?k???2,k?Z}；余切函数y?cotx和余割函数
y?cscx的定义域为{xx?k?,k?Z}。
所有六个三角函数均为周期函数，y?sinx，y?cosx，y?secx和y?cscx 的最小正周期为2?；y?tanx和y?cotx的最小正周期为?。
正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图
1-17。
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