式中：fH——最高工作频率；
f——起始工作频率；
?——阻抗相位。
设在最高工作频率时?趋近于?/4，积分从最高测量频率开始，实际上，?N可选为高频fH处表层均匀、无明显静态效应区域的实测视电阻率值。
b）经验上，可通过选择参考阻抗相位?r和?N来求无静态位移的视电阻率数据。?r是从受静态位移影响不大，也即横向相对稳定区域的实测数据中选定，把该测点、该频率的视电阻率作为归一电阻率?N，然后逐点地用这些值按下式做静位移校正：
4?stat??s?N?refe?(?r??s) …………………………………………………………（I.7）
式中：?r——参考阻抗相位；
?s——实测阻抗相位； ?s——实测视电阻率；
?ref——每个测点上参考频率上的视电阻率；
?stat——静校后的视电阻率。
式（I.7）的静校方法可以和用??(f)代替?s的公式（I.6）所示的相位积分法一起使用。 这种方法在静校中充分利用了阻抗相位数据，校正的效果取决于解释者选择?r和?N的经验。 I.1.2 空间滤波方法
I.1.2.1 平衡移动平均空间滤波法（TMA）
TMA方法是利用所选的静校参考频率行的平均视电阻率来估算近地表的电阻率，然后移动测深曲线来匹配这个平均视电阻率。TMA滤波只移除单点的偏移，而保留较宽范围的变化。应选择对应干净数据的最高频率作为参考频率。
a）首先沿参考频率行，在每个测点（j=1，2，3，?n）内插测深曲线，得到未经校正的视电阻率?j（欧姆2米）和阻抗相位?j（毫弧度）的数组；
b）在标准频率上计算各个测点的log(?j)相对log(f)的斜率
??j/1000??atan??1??/4????………………………………………………………（I.8）
?/2slopej式中?j除以1000转换成弧度；
c）用斜率乘以因数2按频率外推
log(?j)?log(?j)?log(?2)?slope?j ；…………………………………………（I.9）
d）对每个测点得到五点一组的log(?j)（例如对测点j，i=j-2到j+2）；
e）舍弃每组log(?j)的最低和最高值，对剩余的三个log(?j)进行平均得到log?j； f）则测点j静校后的目标视电阻率
??? 33
?staticj??j?exp(log?j)???j，j?1，2，3，?，n；………………………………（I.10）
jg）在所有频率，测深曲线乘以因数?staticI.1.2.2 定长滑动平均空间滤波法（FLMA）
/?j，校正静位移。
FLMA方法是使用定长的滑动平均滤波器，沿着测线计算一个平均阻抗剖面，来估算单个静校参考频率的平均视电阻率。然后在整个平均剖面来平移测深曲线。应选择对应干净数据的最高频率作为参考频率。
a）首先沿参考频率行，在每个测点（j=1，2，3，?n）内插测深曲线，得到一组未经校正的视
电阻率?j（欧姆2米）和阻抗相位?j（毫弧度）。然后把?j和?j转换成阻抗值Zj。
Zj?(?j????)??cos(?j/1000)?i?sin(?j/1000)? ………………………（I.11）
b）用以各测点为中心的定长汉宁窗依次平均阻抗值。滤波器宽度缺省时设为5个偶极长度，但可选1～100个偶极长度之间的任意值。在每个测点，有限长偶极滤波器的权值用在汉宁窗在一个偶极长度上的片段的积分来调节。
nZavgj??(Wk?1k?Zk)……………………………………………………………（I.12）
式中：在汉宁窗外Wk?0，在汉宁窗内一个偶极长上来积分Wk。 c）在参考频率，由Zj获得静校后的视电阻率。
2j?staticj?Z??? …………………………………………………………………（I.13）
jd）在所有频率，测深曲线乘以因数?staticI.1.2.3 自适应空间滤波法（AMA）
/?j校正静位移。
AMA方法是沿线长计算平均阻抗剖面，利用自适应移动平均滤波器，估算单个频率的静校正的视电阻率。然后在整个平均剖面来平移测深曲线。应选择具有干净数据的最高频率作为参考频率。
a）首先沿参考频率内插每个测点（j=1，2，3，?n）的测深曲线，得到一组未经校正的视电阻率rj（欧姆2米）和阻抗相位?j（毫弧度）。然后把每个测点rj和?j转换成阻抗值Zj。
Zj?(?j????)??cos(?j/1000)?i?sin(?j/1000)? ……………………………（I.14）
b）用以每个测点为中心的变长汉宁窗依次平均阻抗值。在每个测点迭代来调节滤波器长度，首先利用平均视电阻率计算滤波器宽度，然后利用滤波器计算新的平均视电阻率。滤波器宽度设定为一个趋肤深度，但可选1～10个趋肤深度之间的任意值。在每个测点，有限长偶极个别滤波器的权值根据在汉宁窗在一个偶极长度上的片段的积分来调节。
nZavgj??(Wk?1k?Zk) ……………………………………………………………（I.15）
式中：在汉宁窗外Wk?0，而在汉宁窗内一个偶极长度上积分Wk c）在参考频率，由Zj获得静校后的视电阻率。
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?staticj?Z2j??? …………………………………………………………………（I.16）
jd）在所有频率，测深曲线乘以因数?static式I.8～I.16中：
/?j校正静位移。
?j——在频率f处未校正的视电阻率（欧姆2米）； ?j——在频率f处的阻抗相位（毫弧度）；
f——参考频率（赫兹）；
??2?f,I.1.3 中值空间滤波法
???0?4??10?7,i??1。
利用空间滤波法做静校正的基本思想是假定地下电性异常体或地质构造引起的视电阻率沿测线是平缓渐变的；而地表局部电性不均匀体或局部地形不平则会引起视电阻率的急剧变化。若设计一种低通滤波器沿测线做空间滤波，则可压制高频的静态效应。
a）首先在测区内厚度、深度和电阻率都较稳定的电性层，估计其在频率测深曲线对应的频段（设为fm～fn）共n-m+1个频点）。之后计算各测深点在该频段范围内实测视电阻率的平均值
1?ai??????si(fj)??j?m?nn-m?1 …………………………………………………………（I.17）
式中：i——测深点号；
?si(fj)——第i个测深点在第j频点fj的实测视电阻率值。
b）将相邻的若干个（设为D=2L+1个）测深点的平均视电阻率?a，与一滤波函数F作数字滤波运算，计算平均视电阻率的滤波值
?Li?L???k??La(i?k)?Fk? ……………………………………………………………（I.18）
计算结果记录在滤波窗口中心点i上。
式中：Fk——低通滤波器的滤波系数；
D=2L+1——滤波窗口宽度。
c）以各测深点（设为第i点）的平均视电阻率?ai去除其滤波值?Li，便得到静校正系数
ki??Li/?ai ………………………………………………………………………（I.19）
用该静校正系数去乘相应测深点各频点的视电阻率实测值?si(fj)，就得到经过静校正的视电阻率
?si(fj)?ki??si(fj) ……………………………………………………………（I.20）
若在上述空间滤波法基础上，保持其余计算步骤不变，只是用一种非线性滤波——“中位数”法，替代线性滤波运算式（I.18），即中值空间滤波法。中值空间滤波法特点：一是对具有高频静位移有较好的压制作用；二是不改变阶跃函数的空间形态和位置，适合于地下存在陡立电性分界面的情况。
r 35
具体做法是将?a(i?k)（k=－L，－L+1，?0，1，?L）按大小排序，然后选其“中位数”（处于中间的?a值）作为?Li值。若新序排为?a1,?a2,??aD，则取
?Li??a(D?12 ………………………………………………………………………（I.21）
)I.1.4 小波多尺度分析法 I.1.4.1 信号多尺度分离
根据Mallat小波多尺度分析的理论，可将某一函数进行多尺度分解。即存在一些特殊的小波母函数?(x)，使得
?ji(x)?2f(x)??j/2?(2?jx?i) ………………………………………………………（I.22）
组成L2(R)的正交基，j,i?Z,Z为整数集。对f(x)?L2(R)，有下列分解式
??Wfj?Zi?Z(j,i)?ji(x) ……………………………………………………（I.23）
?其中Wf(j,i)?f(x),?ji(x)?2?j/2?系数。
??f(x)?(2?jx?i)dx为f(x)的2进小波变换，也称小波
如果把上式运用到电磁异常信号的分离，除了小波函数外还要引进尺度函数?(x)。根据多分辨逼近理论，可以选择与?(x)相应的尺度函数?(x)，令?ji(x)?2?ji(x)与?mn?j/2?(2?jx?i),j,i?Z，则
(x)正交（当m＜j时对所有的i，n）。同时?ji(x)与它自己的所有离散平移正交。
所以有如下分解式
Jf(x)??i?Zf(x),?ji(x)?ji(x)???j?0i?Zf(x),?ji(x)?ji(x) ………………（I.24）
其中J是待定整数，它可根据信号奇性识别来确定。
（I.24）式中随着j的不同，尺度s?2j随之变化（j=0，1，2，?，J）。因此（I.24）式可实现对函数f(x)的多尺度分解。令cij?f(x),?ji(x),法，由?cij?1di?jf(x),?ji(x)，根据Mallat算
?可以计算?c?及?d?，其递推公式为 c??ch(i?2k)， d??cjkjkjkj?1ijkj?1ig(i?2k) ……………………………（I.25）
i?Zi?Zh(n)，g(n)由小波母函数和尺度函数所确定。
h(n)?1/g(n)?1/2??(x/2)?(x?n)dx
????2??(x/2)?(x?n)dx
??jk另由重建公式
cnjjj?1??ck?Zh(n?2k)??dk?Zjkg(n?2k) …………………………………………（I.26）
中的?ck?和?dk?反求?cnj?1?。
I.1.4.2 静态效应的小波识别与压制方法
根据小波母函数?(x)和尺度函数?(x)的建造，?(x)与?(x)分别对应一个带通和低通滤波器。因此，随着j的增大，?ji(x)对应于截止频率越来越低的低通滤波器，而?ji(x)则对应一组正
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交的带通滤波器（j=0，1，2，?，J）。所以，在分解式（I.24）中的第一个和式对应于函数
jf(x)的光滑部分，而第二个和式对应于尺度2（j=0，1，2，?，J）之下相应的细节部分。在
电磁测深中，用?(x)代替f(x)，则（I.24）中的第一个和式对应于卡尼亚电阻率函数中所包含的背景值和大构造异常，而第二个和式对应于浅部二、三维不均匀体产生的局部异常。因此（I.24）式可以将视电阻率局部异常和背景异常在多尺度下进行分离。做静态效应校正时，只要在（I.26）式中令
dk?0重建cnjj?1，代入（I.24）式计算，就得到了消除了静态效应的视电阻率?(x)。
由（I.24）式可见，静态效应与背景异常分离得恰当与否取决于如何选择J，使得背景异常得到充分的突出，从而得到满意的静态校正结果。由于静态效应的Lipschitz指数?为负值，而背景异常Lipschitz指数?为正值，根据Mallat研究结果，原始卡尼亚电阻率需满足不等式
W2j?(x)?K?2j?[常数K＞0，x?(a,b)]，在尺度2j（j=0，1，2，?，J）的变化过程中，与
jj静态效应对应的小波变换W2?(x)的极大模快速递减，而与背景异常相对应的小波变换W2?(x)极大模递增或基本上保持常值。这说明（I.24）式中的第一个和式越来越忽略了?(x)中的静态效应而突出了背景异常。令
q(j)?W2j?(x0)/W2j?(x1) …………………………………………………（I.27）
其中，W2?(x0)、W2?(x1)分别对应于背景异常和静态效应的小波变换极大模。
jj在j的变化过程中（j=0，1，2，?，J），选出一个使q(j)取最大值的j并记做J，这个J对应的尺度2J就为使背景异常得到很好突出而使静态效应得到充分压制的最佳尺度。图I.1给出了小波分析静态校正计算程序框图。
输入{?(n)} 计算W2j?(n) 求max{W2j?(n)}及Lipschitz指数 计算q(j)确定最佳尺度 计算ck,dk jj令dk?0,求得压制的 静态效应?(x) j令ck?0,求得局部异常 j保留ck及部分dk,得到随 位置变化的静态效正的结果 jj 图I.1 小波多尺度分析法静态校正计算框图
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