∴数列an是以a1?2为首项，公比为4的等比数列.
∴an?2?4n?1?22n?1. ?????4分
（2） 解：由（1）得：log2an?log222n?1?2n?1， ?????5分 ∴Tn?log2a1?log2a2???log2an
?1?3???2n?1 ?????6分
???? ?n?1?2n?1?22 ?????7分
?n . ?????8分 （3）解： ?1???1??1?1?????????T2??T3??1?1? ????Tn????1??1?1???1?2??1?2?????1?2? ?????9分
2??3?n???22?132?142?1n2?1?????? 223242n2?1?3?2?4?3?5????n?1??n?1?2?3?4???n2222 ?????10分
?n?1. ?????11分 2n令
n?110104?，解得：n?287. ?????13分 201372n故满足条件的最大正整数n的值为287. ?????14分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
x2y2(1) 解法1：设椭圆C1的方程为2?2?1?a?b?0?,
ab?2232???1,依题意: ?a2b2解得:
?a2?b2?4.?
2??a?16, ?????2分 ?2??b?12.11
x2y2??1. ?????3分 ∴ 椭圆C1的方程为
1612x2y2解法2：设椭圆C1的方程为2?2?1?a?b?0?，
aba?4， ?????1分 根据椭圆的定义得2a?AF1?AF2?8，即
∵c?2， ∴b?a?c?12. ?????2分
222x2y2??1. ?????3分 ∴ 椭圆C1的方程为
1612(2)解法1：设点B(x1,121212x1),C(x2,x2)，则BC?(x2?x1,(x2?x12))， 4441BA?(2?x1,3?x12)，
4∵A,B,C三点共线, ????????∴BC//BA. ?????4分
∴x2?x1?3?????12?12x1??x2?x124?4???2?x?,
1化简得：2(x1?x2)?x1x2?12. ① ?????5分 由x2?4y,即y?112x,得y??x. ?????6分 4212x1x1?(x?x1)， 42∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?即y?x11x?x12. ② ?????7分 24x212x?x2. ③ ?????8分 24同理，抛物线C2在点C处的切线l2的方程为 y?设点P(x,y)，由②③得：
x1x112x?x12?2x?x2， 2424而x1?x2，则 x?1(x1?x2). ?????9分 2 12
代入②得 y?1x1x2， ?????10分 4则2x?x1?x2，4y?x1x2代入 ① 得 4x?4y?12，即点P的轨迹方程为
y?x?3. ?????11分 P在椭圆C1上，而点P又在直线y?x?3上， 若PF1?PF2?AF1?AF2 ，则点
?????12分
∵直线y?x?3经过椭圆C1内一点(3,0),
∴直线y?x?3与椭圆C1交于两点. ?????13分
P有两个. ?????14分 ∴满足条件PF1?PF2?AF1?AF2 的点
解法2：设点B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)， 由x2?4y,即y?112x,得y??x. ?????4分 42x1(x?x1)， 2∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?y1?即y?x11x?y1?x12. ?????5分 22∵y1?x12x1， ∴y?1x?y1 . 42x1x0?y1. ① ?????6分 2∵点P(x0,y0)在切线l1上, ∴y0?同理， y0?x2x0?y2. ② ?????7分 2xx0?y. ??8分 2综合①、②得，点B(x1,y1),C(x2,y2)的坐标都满足方程 y0?∵经过B(x1,y1),C(x2,y2)两点的直线是唯一的， ∴直线L的方程为y0?xx0?y， ?????9分 2∵点A(2,3)在直线L上， ∴y0?x0?3. ?????10分 ∴点P的轨迹方程为y?x?3. ?????11分
13
P在椭圆C1上，又在直线y?x?3上，?12分 若PF1?PF2?AF1?AF2 ，则点
∵直线y?x?3经过椭圆C1内一点(3,0),
∴直线y?x?3与椭圆C1交于两点. ?????13分
P有两个. ?????14分 ∴满足条件PF1?PF2?AF1?AF2 的点
解法3：显然直线L的斜率存在，设直线L的方程为y?kx?2?3，
????y?k?x?2??3,2 由?消去y，得x?4kx?8k?12?0. ?????4分
2??x?4y,设Bx1,y1,Cx2,y2,则x1?x2?4k,x1x2?8k?12. ?????5分 由x2?4y,即y?????112x,得y??x. ?????6分 42x1(x?x1)， 2∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?y1?即y?x11x?y1?x12. ?????7分 22∵y1?x112x1， ∴y?1x?x12. 424x212x?x2. ?????8分 24同理,得抛物线C2在点C处的切线l2的方程为y??x1y?x???2由??y?x2x???2?x1?x212x1,x??2k,??24解得? 12?y?x1x2?2k?3.x2,??44∴P2k,2k?3. ?????10分 ∵PF1?PF2?AF1?AF2,
??x2y2??1上. ?????11分 ∴点P在椭圆C1:1612∴
?2k?162??2k?3?122?1.
14
化简得7k?12k?3?0.(*) ?????12分
2由Δ?12?4?7??3?228?0, ?????13分
2??可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P有两个. ?????14分 21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
x2x3??kx, ?????1分 （1）解：∵y?f2(x)?kx?1?x?23∴y???1?x?x2?k??(x2?x?k?1). ?????2分 方程x?x?k?1?0的判别式Δ??1当k??2??2?4?k?1???3?4k.
3时，Δ?0，y???(x2?x?k?1)?0， 4故函数y?f2(x)?kx在R上单调递减； ?????3分
当k??31?2时，方程x?x?k?1?0的两个实根为x1?4?3?4k，
2x2?1??3?4k. ?????4分
2则x???,x1时，y??0；x?x1,x2时，y??0；x?x2,??时，y??0； 故函数y?f2(x)?kx的单调递减区间为??,x1和x2,??，
单调递增区间为x1,x2. ?????5分
*（2）解：存在t?1，对于任意n?N，关于x的方程fn(x)?0在区间??t,t?1??上有唯
????????????一实数解，理由如下：
当n?1时，f1(x)?1?x，令f1(x)?1?x?0，解得x?1，
∴关于x的方程f1(x)?0有唯一实数解x?1. ?????6分
x2x3x2n?1????当n?2时，由fn(x)?1?x?， 232n?122n?3?x2n?2. ?????7分 得fn?(x)??1?x?x???x 15
若x??1，则fn?(x)?fn?(?1)??(2n?1)?0，
若x?0，则fn?(x)??1?0, ?????8分
2n?1x?1若x??1且x?0时，则fn?(x)??, ?????9分
x?1当x??1时，x?1?0,x2n?1?1?0,fn?(x)?0, ?1?0,fn?(x)?0,
当x??1时，x?1?0,x2n?1∴fn?(x)?0，故fn(x)在(??,??)上单调递减. ?????10分 ∵fn(1)?(1?1)?(?)?(?)???(1213141511?)?0， ???11分
2n?22n?12223242522n?222n?1fn(2)?(1?2)?(?)?(?)???(?)
23452n?22n?1 ??1?(?)2?(?)2???( ??1?122321425412?)22n?2 2n?22n?112342n?32?2???22n?2?0. ????12分 2?34?5(2n?2)(2n?1)∴方程fn(x)?0在?1,2?上有唯一实数解. ?????13分 当x???,1时，fnx???????fn?1??0；当x??2,*?时，f?x?n?fn?2??0.
综上所述，对于任意n?N，关于x的方程fn(x)?0在区间??1,2??上有唯一实数解. ∴t?1. ?????14分
16