第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵 1.矩阵的概念
?2 ?
①→OP ? (2, 3)，将→OP的坐标排成一列，并简记为??
y ?3 ?— P 2, 3) (3 2 ?2 ?
?? — ?3 ?
3
— 2 x O ②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：
初赛 复赛 80 90
甲 乙 80 86 90 88 ??
???86 88 ?
③ 2 3 m ?2x?3y?mz?1,?23m? 简记为??3 －2 4 ? 3x?2y?4z?23?24??? 概念一：
?23m??2 ??8090?象?? ? ?3?24?的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C?表示，?3 ??8688????横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：
①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。 ③行矩阵：[a11,a12]（仅有一行）
?a11 ?
④列矩阵：??（仅有一列）
?a21 ?
⑤向量a＝（x,y），平面上的点P（x,y）都可以看成行矩阵[x,y]或列矩阵??，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量??的形式。 练习1：
??x??y??x??y??x3??1y?1.已知A???,B??z?2?，若A=B，试求x,y,z
4?2????
2.设A??
概念二：
?2x??m?nx?y?，，若A=B，求x,y,m,n的值。 B?????y3??2x?ym?n??ab?称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。 ??cd??00?①零矩阵：所有元素均为0，即??，记为0。
00???10?②二阶单位矩阵：?，记为E2. ??01?由4个数a,b,c,d排成的正方形数表?第 1 页 共 16 页
二、二阶矩阵与平面向量的乘法
????ab??x??ax?by??ab??x??ax?by?A?定义：规定二阶矩阵A=?，与向量的乘积为，即＝＝? A???????????????cd??cx?dy??cd??y??cx?dy??y?练习2：
?12??3?＝ ????0?1??1??12??1?（2） ???3?＝
0?1?????10??x???1??x?2.?=，求 ????????12??y??1??y?1.（1）?三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换
问题1:P（x,y）绕原点逆时针旋转180得到P(x,y
o
’
’
’
?x'???10??x'??x?0?y也可以表示为?'，即?'?＝??y?0?x?y?y??0?1???x'??x),称P为P在此旋转变换作用下的象。其结果为?'，
?y??y?x???x??y?＝??y?怎么算出来的？
????’
o’’’’
问题2. P（x,y）绕原点逆时针旋转30得到P(x,y),试完成以下任务①写出象P； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式. 30o o
问题3.把问题2中的旋转30改为旋转?角，其结果又如何？ ?
2.反射变换
’
定义：把平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P的线性变换叫做关于直线l的反射。
’’’
研究：P（x,y）关于x轴的反射变换下的象P(x,y)的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
定义：将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，（k1、k2均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。
试分别研究以下问题：
①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
②. 将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
’
定义：将平面上每个点P对应到它在直线l上的投影P（即垂足），这个变换称为关于直线l的投影变换。 研究：P（x,y）在x轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换
定义：将每一点P（x,y）沿着与x轴平行的方向平移ky个单位，称为平行于x轴的切变变换。将每一点P（x,y）沿着与y轴平行的方向平移kx个单位，称为平行于y轴的切变变换。 研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习：P10 1.2.3.4
四、简单应用
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1.设矩阵A=???10?，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。 ??01?
练习：P13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
o
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线y?x2的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
o
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
?zx??x2??17. 设A??，B??2?，且A=B.则x＝ ??x?42??2x?1y?8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
?1?2?对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为 ??21??1??1?对应的线性变换下得到的向量坐标为 10.已知点A（2，－1），B（－2，3），则向量AB在矩阵?2?0???2????1?2??1?11.向量a在矩阵A??的作用下变为与向量??平行的单位向量，则a＝ ???1??01?1????????????5??1???3???12.已知A?2，a＝??，b＝??，设??a?b，??a?b，①求A?，A?； ?3??2??4??4??9.在矩阵A??
???10???1???x?o
13.已知A??，a＝??，b＝??，若Aa与Ab的夹角为135，求x. ???1???12??1?
?10?14.一种线性变换对应的矩阵为??。①若点A在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A的坐标；②解
?10??释该线性变换的几何意义。
?0?115.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为?1?。求①点A（1/5,3）在该变换作用下的像；
?0??2?22②圆x?y?1上任意一点P(x0,y0)在该变换作用下的像。
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?13???2???10??02??答案：1.? 2. 3. 4.R??360o0?131?????0????22??2??1??1??????2?22?，??? 9.（0，5） 10.（2，8） 11.??2????11????????22??2???1??5??xo?13.ｘ＝2/3 14.(5,y) 15. ??,?y?
o?3????????2??2?a???10??x'?x 7.－1 8. ? 5.??6.?'a??01??y??2x?y2??2? 12.??7?、?19?
?????18?2????4??2?第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
??x???x?1.数乘平面向量：设????，?是任意一个实数，则?????
?y???y?????x1???x2??x1?x2?????2.平面向量的加法：设?y?，?y?，则??????
y?y?1??2??12??性质1：设A是一个二阶矩阵，?,?是平面上的任意两个向量，?是任意一个实数，则①数乘结合律：
A(??)??A?；②分配律：A(???)?A??A?
【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。
二、直线在线性变换下的图形
研究y?kx?b分别在以下变换下的像所形成的图形。
?????????10?? 02??1??3??2?2? ②旋转变换：?3??1??22???12?③切变变换：??
01??①伸缩变换：?④特别地：直线x=a关于x轴的投影变换？
性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 . （证明见课本P19）
三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形
分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。 ① 恒等变换：?
②旋转变换：??10? ??01??cos??sin???
sin?cos???第 4 页 共 16 页
③切变变换：?
④反射变换：?
?1k? ??01??10?? 0?1???10?⑤投影变换：??
00??
【练习：P27】 【应用】
??1
试研究函数y?在旋转变换?x???22???22?作用下得到的新曲线的方程。 22??22?3?1??x'??12?2?2?作用，再经过切变变换?：?作用的向量?'? ?13??y??01?22??
四、复合变换与二阶矩阵的乘法
????x?1.研究任意向量????先在旋转变换R30o：???y???
2.二阶矩阵的乘积
?a1b1??a2b2?定义：设矩阵A＝??，B＝?cd?，则A与B的乘积
cd?11??22??a1b1??a2b2?AB＝???cd?＝
cd?11??22?
【应用】
1-1??10? ＝
2121????????n?n??cos?-si??cos?-si?2.A＝? ?，B＝?sin? co??，求AB
sin?co?ss????1.计算?
??1??10??12?3.求????在经过切变变换?：A=??，及切变变换?：B=?01?两次变换后的像?。
3?21???????
?1??0??0?1??2???4.设压缩变换?：A＝2，旋转变换R90o：B＝?，将两个变换进行复合，①求向量??R???3?90o?1?10?????0???x?在复合变换下的像；②求????在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图形？
?y?第 5 页 共 16 页