华师大版数学九下第27章证明复习课教案
一、主要内容
1、等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。 2、推论：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高这“三线合一”的性质有多重功能，可以证明两线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直，也可证线段或角的倍分问题。
3、判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。 4、斜边、直角边定理：
如果两个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。 5、中位线概念：
⑴三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 ⑵梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 注意：
⑴要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。
⑵梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
⑶两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
6、中位线定理：
⑴三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。 ⑵梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 二、重点与难点分析
重点：三角形、梯形中位线的概念及定理。
通过三角形、梯形中位线的概念及定理的证明的学习使学生掌握三角形、梯形中位线的定义，掌握三角形、梯形的中位线定理及其应用难点：
1、三角形中位线定理的证明，课本采用“同一法”证明的，其基础是：⑴三角形中位线定理与平行线等分线段定理的推论1是互为逆命题的关系；⑵线段的中点是惟一的，过两
点的直线也是惟一的。
定理证明的其他方法：
⑴通过旋转图形构造基本图形——平行四边形。
⑵过三个顶点分别向中位线作垂线。
2、梯形中位线定理的证明，课本采用“化归”思想，把梯形中位线问题化归为三角形中位线问题来证明。
定理证明的其他方法：
⑴连结一条对角线 ⑵过上底端作一腰平行线 ⑶过一腰中点作另一腰平等线
通过添加辅助线解决有关三角形中位线、梯形中位线的问题，提高分析问题，解决问题的能力。 平行四边形
⑴平行四边形的：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
注意：一个四边形必须具备有两组对边分别平行才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定是有“两组对边分别平行”的一个四边形。因此定义既是平行四边形的一个判定方法（定义判定法）又是平行四边形的一个性质。
平行四边形的表示：平行四边形用符号“作“
?”表示，如图就是平行四边形ABCD，记
?ABCD”。
⑵平行四边形的性质：
平行四边形性质定理1：平行四边形对边相等。 平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等。 平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 ⑶平行四边形的判定定理：
平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 矩形、菱形、正方形 ⑴定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 它们之间的从属关系
⑵性质与判定 矩形的性质：
既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形的一切性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质。
矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。 矩形性质定理2：矩形对角线相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 菱形的性质：
菱形既然是特殊的平行四边形，因此它就具有平行四边形的一切性质，此外由于它比平行四边形多了“一组邻边相等”的条件，和矩形类似，也比平行四边形增加了一些特殊性质。
菱形性质定理1：菱形的四条边都相等。
菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定： ①根据定义：
②定理：有四条边相等的四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 正方形的性质：
定理：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。正方形两条对角线相等，且每一条对角线平分一组对角。
正方形的判定： ①根据定义；
②定理：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形。 等腰梯形的性质和判定
性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等，两腰相等，两底平行，两对角相等，是轴对称图形，只有一条对称轴，底的中垂线就是它的对称轴。
判定：两腰相等的是梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。
知识结构
解决梯形问题常用的方法
在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是作平行线，从而把梯形问题转化成三角形来解，这种方法叫做平行移动（也称移对角线），这是解决梯形问题常用的方法之一。常见的辅助线如下：
⑴“作高”：使两腰在两个直角三角形中； ⑵“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中； ⑶“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形；
⑷“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形。
综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决。
典型例题
例1：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
【分析】因为已知点分别是四边形各边中点，如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH对边的关系，从而证出四边形
EFGH是平行四边形。
【证明】连结AC。
?AH?HD，CG?GD，H、G分别为AD、GD中点，?HG∥AC，HG?（三角形中位线定理）。同理，EF∥AC，EF?形EFGH是平行四边形。
【点评】①注意三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别。
②三角形中位线定理及证明思路。
例2：如图，?ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE?2AC，
1AC21AC。?GH平行且等于EF。?四边2