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模块四 随机变量及其分布
一．随机变量
为了全面地研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念.
定义：设随机试验的样本空间为???e?.有定义在样本空间?上的单值函数
X?X?e?，e??，则称X?X?e?为随机变量.
注：对应于任一随机事件A??，我们都可以定义一个随机变量，X(e)??这是最简单的随机变量.
?1,e?A，
0,e?A?二．随机变量的分布
1.离散型随机变量及其分布
1）定义
如果某一随机变量所有可能的取值为有限个或可列无限个，我们就称该随机变量为离散型随机变量.
2）分布律
对于离散型随机变量，我们只需要知道它所有可能的取值以及取每一个可能取值的概率，就掌握了有关该随机变量的全部信息了.设随机变量X所有可能的取值为
xk(k?1,2,...)，X取各个可能取值的概率为pk，即P?X?xk??pk(k?1,2,...)，则有中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
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如下性质：
ⅰ）pk?0(k?1,2,...)； ⅱ）
?pk?1?k?1.
上述两条性质也是一个数列可以作为某离散型随机变量的分布律的充要条件. 我们称P?X?xk??pk(k?1,2,...)为随机变量X的分布律. 我们也常把分布律写成如下的表格形式：
Xpk x1 x2 …… …… xn 22…… …… p1p2pn【例1】假设随机变量的可能取值为-1,0,1，它取这些值的概率分别为a,a,a，求a. 【答案】：
【例2】做n次伯努利试验，每次成功的概率均为p（0?p?1），令随机变量X表示
1 2n次试验中成功的次数，求X的分布律.
kk【答案】：P?X?k??Cnp?1?p?n?k,k?0,1,...,n
【例3】做伯努利试验，每次成功的概率均为p（0?p?1），试验一直进行到第一次成功为止，令随机变量X表示总的试验次数，求X的分布律.
【答案】：P?X?k???1?p?
【例4】一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿,不同的信号灯是相互独立的,且红绿两种信号显示的时间相等,假设汽车只有在遇到红灯或到达终点两种情况才会停车，以X表示该汽车首次停车前已通过的路口的个数， 求X的概率分布.
【答案】：
k?1p,k?1,2,3,......
X P 0 1 2 3 1 21 41 81 8中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料
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【例5】设某一口袋里装有3只白球和3只黑球，甲乙两人轮流不放回地从盒子里取球，甲先取，取到黑球时就停止，求甲取球次数的分布律.
【答案】记甲取球次数为X
X P 1 2 4 51 52.分布函数
1）定义：设X为一随机变量，令F?x??P?X?x?,x?R，称此函数为随机变量X的分布函数.
【例6】若X的分布律为：
X 0 0.2 1 2 P 求它的分布函数F?x?.
0.4 0.4 ?0, x?0,?0.2,0?x?1,?【答案】F?x??P?X?x???
0.6,1?x?2,???1, x?2.2）性质：分布函数满足下列性质： （1）F?x?单调不减；
（2）0?F?x??1,limF?x??1,limF?x??0；
x???x???（3）F?x?右连续.
这3条性质也是一个函数可以作为某随机变量分布函数的充要条件.
注：①任何随机变量都有分布函数；分布函数与随机变量之间有一一对应的关系. ②设X的分布函数为F?x?，对任意的实数a,b?a?b?，有 （ⅰ）P?a?X?b??F?b??F?a?. （ⅱ）P?X?b??F?b?0?.
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（ⅲ）P?X?b??F?b??F?b?0?. （ⅳ）P?a?X?b??F?b?0??F?b?0?.
【例7】判断以下函数哪些可以作为某个随机变量的分布函数. (A)F?x??2?arctanx； (B)F?x??sinx；
???0, x?,??0, x?0,6???????(C)F?x???sinx, 0?x?, (D)F?x???sinx, ?x?,
644??????1, x?.1, x?.??4?4?【答案】：（D）
【例8】设F?x?与G?x?都为随机变量的分布函数，则下列各个函数中，一定可以作为随机变量的分布函数的是（ ）.
?A?F?x??G?x??B?2F?x??G?x? ?C?0.3F?x??0.7G?x??D?1?F??x?
【答案】：?C?
?0, x?0,?1?【例9】设随机变量X的分布函数F?x???, 0?x?1,，则P?X?1??（ ）.
?2?x??1?e, x?1.?A?0?B?2?C?2?e?1?D?1?e?1
【答案】：?C?
113.连续型随机变量及其分布
1）定义
如果对于随机变量的分布函数F?x?，存在非负函数f?x?，使对于任意实数x有
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F?x???x??f?t?dt，则称X为连续型随机变量，其中函数f?x?称为X的概率密度函数，
简称概率密度或密度函数.
2）概率密度的基本性质
假设f?x?为某连续型随机变量的概率密度，则有 （1）f?x??0； （2）
?????f?x?dx?1.
这两条性质也是一个函数可以作为某连续型随机变量概率密度的充要条件. 【例10】设随机变量X具有概率密度f?x??ce函数F?x?.
?x，求（1）常数c；（2）X的分布
?1xe,x?0?1?2【答案】：（1）c?，（2）F?x???
2?1?1e?x,x?0??2【例11】已知f1?x?，f2?x?均为随机变量的概率密度，则下列哪些函数也可以作为随机变量的概率密度？
?A?f1?x??f2?x??B?f1?x?f2?x?
?C?2f1?x??f2?x??D?0.4f1?x??0.6f2?x?
【答案】：?D?
3）连续型随机变量的其它性质
设连续型随机变量X的分布函数为F?x?，概率密度为f?x?，则 （1）F?x?是连续函数.
（2）若f?x?在点x处连续，则F??x??f?x?. （3）对任意的实数c，P?X?c??0.
（4）对于任意实数x1,x2,?x1?x2?，P?x1?X?x2??F?x2??F?x1??【例12】设连续型随机变量X的分布函数为：
?x2x1f?x?dx.
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?0, x??a,?x?F?x???A?Barcsin,?a?x?a,a???1, x?a.
求：（1）A和B；（2）概率密度f?x?.
1?,?a?x?a?1122【答案】：（1）A?,B?；（2）f?x????a?x
2??0,其它??x, 0?x?1,?【例13】设连续型随机变量X的概率密度为f?x???2?x,1?x?2,，则
?0, 其它.?3??1P??X???___________.
2??2【答案】：
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