（2014海淀期末，15．）图为一个小型交流发电机的原理图，其矩形线圈的面积为S，共有n匝，线圈总电阻为r，可绕与磁场方向垂直的固定对称轴OO?转动；线圈处于磁感应强度为B的匀强磁场中，线圈在转动时可以通过滑环K和电刷L保持与外电路电阻R的连接。在外力作用下线圈以恒定的角速度ω绕轴OO′匀速转动。（不计转动轴及滑环与电刷的摩擦）
（1）推导发电机线圈产生感应电动势最大值的表达式Em=nBSω； （2）求线圈匀速转动过程中电流表的示数；
（3）求线圈速度转动N周过程中发电机线圈电阻r产生的焦耳热。 15．解：（1）设线圈ab边的边长l1，bc边的边长l2。当线圈平面与磁场方向平行时，线圈中的感应电动势最大。
设此时ab边的线速度为v，则单匝线圈时ab边产生的感应电动势为：E1=Bl1v cd边产生的感应电动势为：E2=Bl1v
n匝线圈产生的总感应电动势为：Em=n(E1+E2)= 2nBl1v 由于：v??r???O K L a K L R b d A O′ c B ll2 有：Em=2nBl1??2?nBl1l2??nBS? 22（2）线圈中的感应电动势有效值为：E?Em 2电路中电流的有效值：I=
nBS?E2nBS?= 即电流表的示数为： R?r（2R?r）（2R?r）2π（3）线圈转动的周期T=
2π?，线圈转动N周的时间：t=NT=N?
?
πNn2B2S2?r依据焦耳定律，发电机线圈产生的焦耳热：Q=Irt 解得：Q= 2（R?r）2
（2014海淀期末，16．）如图所示，在水平向左、电场强度为E的匀强电场中，竖直固定着一根足够长的粗糙绝缘杆，杆上套着一个质量为m、带有电荷量－q的小圆环，圆环与杆间的动摩擦因数为μ。 （1）由静止释放圆环，圆环沿杆下滑，求圆环下滑过程中受到的摩擦力f；
（2）若在匀强电场E的空间内再加上磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，圆环仍由静止开始沿杆下滑。求：
①圆环刚开始运动时加速度a0的大小； ②圆环下滑过程中的最大动能Ek。
16．解：（1）在水平方向圆环受到的弹力：N=qE
则摩擦力：f=μN=μqE
（2）①圆环刚开始运动时不受洛伦兹力，因此，摩擦力大小：f=μqE
在竖直方向，由牛顿第二定律：mg??qE?ma0 解得：a0?E -q mg??qE m②当重力与滑动摩擦力平衡时，圆环速度最大，动能最大。即：mg??(qvmB?qE)
12m(mg?μqE)2mg??qE最大速度：vm? 最大动能：Ek=mvm?
?qB22μ2q2B2（2014海淀期末，17．）回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，图为回旋加速器的示意图。D1、D2是两个中空的铝制半圆形金属扁盒，在两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个D形盒接在高频交流电源上。在D1盒中心A处有粒子源，产生的带正电粒子在两盒之间被电场加速后进入D2盒中。两个D形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，带电粒子在磁场力的作用下做匀速圆周运动，经过半个圆周后，再次到达两盒间的狭缝，控制交流电源电压的周期，保证带电粒子经过狭缝时再次被加速。如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过狭缝，一次一次地被加速，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D形盒的边缘，沿切线方向以最大速度被导出。已知带电粒子的电荷量为q，质量为m，加速时狭缝间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D形盒的半径为R，狭缝之间的距离为d。设从粒子源产生的带电粒子的初速度为零，不计粒子受到的重力，求： （1）带电粒子能被加速的最大动能Ek； （2）带电粒子在D2盒中第n个半圆的半径；
（3）若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为I，求从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率P。
高频电源
B D1 A D2 17．解：（1）带电粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，此时带电粒子具有最大动能
vEk，设离子从D盒边缘离开时的速度为vm。依据牛顿第二定律：Bqvm?mm
R212q2B2R2所以带电粒子能被加速的最大动能：Ek?mvm?
22m（2）带电粒子在D2盒中第n个半圆是带电粒子经过窄缝被加速2n-1次后的运动轨道，设其被加速2n-1
（2n-1）qU?次后的速度为vn，由动能定理得：
12mvn 2此后带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径为rn，
mvn1（22n?1)mUv由牛顿第二定律得：Bqvn?mn rn= ?rnBqBq（3）设在时间t内离开加速器的带电粒子数N，
则正离子束从回旋加速器输出时形成的的等效电流：I?2NqIt，解得：N= tqN?EkqIB2R2带电粒子从回旋加速器输出时的平均功率：P?=
t2m
（2014海淀期末，18．）如图所示，两根金属平行导轨MN和PQ放在水平面上，左端向上弯曲且光滑，导轨间距为L，电阻不计。水平段导轨所处空间有两个有界匀强磁场，相距一段距离不重叠，磁场Ⅰ左边界在水平段导轨的最左端，磁感强度大小为B，方向竖直向上；磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B，方向竖直向下。质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b垂直导轨放置在其上，金属棒b置于磁场Ⅱ的右边界CD处。现将金属棒a从弯曲导轨上某一高处由静止释放，使其沿导轨运动。设两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。
（1）若水平段导轨粗糙，两金属棒与水平段导轨间的最大摩擦力均为P a Ⅰ Ⅱ b D Q M B 2B C N 1mg，将金属棒a从距水平面高度5h处由静止释放。求： ①金属棒a刚进入磁场Ⅰ时，通过金属棒b的电流大小； ②若金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b能在导轨上保持静止，通过计算分析金属棒a释放时的高度h应满足的条件； （2）若水平段导轨是光滑的，将金属棒a仍从高度h处由静止释放，使其进入磁场Ⅰ。设两磁场区域足够大，求金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b中可能产生焦耳热的最大值。 18．解：（1）①金属棒在弯曲光滑导轨上运动的过程中，机械能守恒，设其刚进入磁场Ⅰ时速度为v0，产生的感应电动势为E，电路中的电流为I。由机械能守恒：mgh?12mv0，解得：v0=2gh 2BL2ghE感应电动势：E=BLv0，对回路：I? 解得：I= 2R2R②对金属棒b：所受安培力：F=2BIL 又因：I =BL2gh2R gm2R21金属棒b棒保持静止的条件为：F≤mg 解得：h≤ 44550BL（2）金属棒a在磁场Ⅰ中减速运动，感应电动势逐渐减小，金属棒b在磁场Ⅱ中加速运动，感应电动势逐渐增加，当两者相等时，回路中感应电流为0，此后金属棒a、b都做匀速运动。设金属棒a、b最终的速度大小分别为v1、v2，整个过程中安培力对金属棒a、b的冲量大小分别为Ia、Ib。 由BLv1=2BLv2，解得：v1=2v2 设向右为正方向：对金属棒a，由动量定理有：－Ia=mv1-mv0 对金属棒b，由动量定理有：－Ib=-mv2-0 由于金属棒a、b在运动过程中电流始终相等，则金属棒a受到的安培力始终为金属棒b受到安培力的2倍，因此有两金属棒受到的冲量的大小关系：Ib=2Ia，解得：v1?42v0，v2?v0 5512122142112mv0?mgh 根据能量守恒，回路中产生的焦耳热：Q?mv0?[m(v0)?m(v0)]?2252510511mgh Qb=Q?210