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2009年高考数学试题分类汇编——不等式
一、选择题
1.（2009安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（A）p:a?c＞b+d , q:a＞b且c＞d
（B）p:a＞1,b>1 q:f(x)?a?b(a?0，且a?1)的图像不过第二象限（C）p: x=1, q:x?x2x（D）p:a＞1, q:f(x)?logax(a?0，且a?1)在(0,??)上为增函数
[解析]：由a＞b且c＞d?a?c＞b+d，而由a?c＞b+d a＞b且c＞d，可举反例。选A
?3x?y?6?0?2.(2009山东卷理)设x，y满足约束条件?x?y?2?0 ，
?x?0,y?0?若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，
23?的最小值为( ). ab25811A. B. C. D. 4 633则
y x-y+2=0
z=ax+by
2 -2 O 2 x 3x-y-6=0
【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6,而
23232a?3b13ba1325,故选A. ?=(?)??(?)??2?abab66ab66答案:A
【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.
23?ab学习好资料 欢迎下载
?x?03.（2009安徽卷理）若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线y??3x?y?4?4?kx?分为面积
3相等的两部分，则k的值是（A）
7343 （B） （C） （D） 3734[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由?B y ?x?3y?44得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
3?3x?y?4C O y=kx+ 3D A x 4144∴S△ABC=(4?)?1?，设y?kx与3x?y?4的
2331215交点为D，则由S?BCD?S?ABC?知xD?，∴yD?
23225147∴?k??,k?选A。 22334.（2009安徽卷文）不等式组所表示的平面区域的面积等于
A. B.
C. D.
【解析】由?【答案】C
?x?3y?4?014可得C(1,1)，故S阴 =?AB?xc?，选C。
23?3x?y?4?05.（2009安徽卷文）“”是“且”的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】易得a?b且c?d时必有a?c?b?d.若a?c?b?d时，则可能有a?d且c?b，选A。 【答案】A
6.（2009四川卷文）已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】显然，充分性不成立.又，若a－c＞b－d和c＞d都成立，则同向不等式相加得a＞b
即由“a－c＞b－d”?“a＞b”
7.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B
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原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 【答案】D
【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系： y
料
甲产品x吨
乙产品y吨
3x y A原
料
2x 3y
（0，6） O （3，4） B
原
13 ?x?0?y?0? 则有：?
3x?y?13???2x?3y?18 目标函数z?5x?3y
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当x＝3，y＝5时可获得最大利润为27万元，故选D
（13，0） 9 3x 2的最小值为22. x22解:x?0?x??22，当且仅当x??x?2时取等号.
xx8.（2009湖南卷文）若x?0，则x??2x?y?4?9.（2009宁夏海南卷理）设x,y满足?x?y??1,则z?x?y
?x?2y?2?（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值 （C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
解析：画出可行域可知，当z?x?y过点（2，0）时，zmin?2，但无最大值。选B.
?2x?y?4,?10.（2009宁夏海南卷文）设x,y满足?x?y?1,则z?x?y
?x?2y?2,?（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值 （C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
【答案】B
【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B
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11.(2009湖南卷理)已知D是由不等式组?在区域D内
的弧长为 [ B] A
?x?2y?022，所确定的平面区域，则圆 x?y?4?x?3y?03?3??? B C D
4242
【答案】：B
【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率
11|?(?)|113?1，所以分别是,?，所以圆心角?即为两直线的所成夹角，所以tan??211231?（??）|23????，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B现。
42?x?y?3?12.（2009天津卷理）设变量x，y满足约束条件：?x?y??1.则目标函数z=2x+3y的最小值
?2x?y?3?为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）23 【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。
?x?y?3?解析：画出不等式?x?y??1表示的可行域，如右图，
?2x?y?3?学习好资料 欢迎下载
让目标函数表示直线y??2xz?在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，33解方程组?8?x?y?3得(2,1)，所以zmin?4?3?7，故选择B。
?2x?y?36A4x-y=1x+y=322x-y=3B-551015-2 ab 13.（2009天津卷理）设a?0,b?0.若3是3与3的等比中项，则 A 8 B 4 C 1 D
-411?的最小值为 ab1 4【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。
【解析】因为3?3?3，所以a?b?1，
ab1111bababa1??(a?b)(?)?2???2?2??4，当且仅当?即a?b?时ababababab2“=”成立，故选择C
14.（2009天津卷理）0?b?1?a,若关于x 的不等式(x?b)＞(ax)的解集中的整数恰有3个，则
（A）?1?a?0 （B）0?a?1 （C）1?a?3 （D）3?a?6 【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，
解析：由题得不等式(x?b)＞(ax)即(a?1)x?2bx?b?0，它的解应在两根之间，故有??4b?4b(a?1)?4ab?0，不等式的解集为
222222222222?bb?x?或a?1a?10?b?b?bb?x??x?。若不等式的解集为，又由0?b?1?a得a?1a?1a?1a?1b?bb?1，故?3???2，即2??3 a?1a?1a?10?15.（2009四川卷理）已知a,b,c,d为实数，且c?d。则“a?b”是“a?c?b?d”的