习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD+BC,E是DC中点
求证：∠DAB与∠ABC的平分线必经过E点。 证明（同一法）：
设∠DAB与∠ABC的角平分线交于E′点，只需证E′点与E点重合。 ∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E′B=90°
作Rt△ABE′的斜边AB上的中线 FE′，则 FE′=1AB=AF=BF
2∴∠2=∠A E′F, ∠3=∠B E′F ∴∠1=∠2=∠A E′F, ∴E′F∥AD∥BC
连结EF,则EF为梯形 ABCD的中位线, E F∥AD∥BC ∴E′F与EF共线
∵FE′=1AB=1(AD+BC), FE =1(AD+BC)
222∴E′F = EF
∴E′与E重合，证毕.
习题2.A是等腰三角形ABC的顶点，将其腰AB延长至D，使BD=AB。知CD=10厘米，求AB边上中线的长。
解：过B作BF∥AC交CD于F， 则BF是△DAC的中位线。 ∴BF
1AC 2∴∠FBC=∠ACB
又∠ACB=∠ABC，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC，BF=AB=BE ∴△EBC≌△FBC（SAS） ∴CE=CF=CD=×10=5cm
即△ABC中边上的中线CE的长为5厘米。
习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。
已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC。D为BC延长线上一点，过D作DE ⊥ AB于E，作DF⊥ AC延长线于F。
121212求证：DE－DF为常量。
证明：作△ABC的边AB上的高CH，再作CG⊥DE于G，则四边形CHEG为矩形。 ∵∠3+∠B=90°，∠4+∠2=90°，∠B=∠ACB=∠2 ∴∠3=∠4
又CD为公共边。 ∴Rt △DGC≌Rt△DFC ∴DF=DG。
∴DE－DF=DE－DG=EG=CH。（常量）证毕
习题4.在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D。M是BC的中点。 求证：DM=AB。
证明：（Ⅰ）当∠B为锐角时，作ME∥AC交AB于E，连结DE。则E为AB的中点 ∴∠DME=∠C，∠BEM=∠BAC 在Rt△ABD中，有DE=AB=BE=AE ∴∠B=∠EDB=∠DEM+∠DME=2∠C
∠DME=∠C
∠DEM=2∠C－∠C=∠C ∠DEM=∠DME DE=DM 1DE=AB
1212122
（Ⅱ）当∠B为钝角时，作ME∥AC交AB于E。连结DE，则E为AB的中点 在Rt△ADB中
DE=AB=BE=AE，E和M分别是AB和BC的中点 ∴ME是△ABC的中位线 ∴∠C=∠BME，∠BAC=∠BEM ∵∠BAC=180°-（∠B+∠C） ∴∠BEM=180°-（∠B+∠C） 又∵BE=DE
在△BDE中∠ABD=∠EDB=180°-∠B ∴∠BED=180°-∠ABD-∠EDB =2∠B-180°
∴∠DEM=∠B-∠C，又∠B=2∠C ∴∠DEM=∠BME ∴DM=AB
1212121（Ⅳ）当∠A为直角时，易证DM=AB
2（Ⅲ）当∠B为直角时，易证DM=AB
习题5.AB是圆的直径，引弦AC使∠BAC=30°，过点C引切线交AB的延长线于D，
求证：AC=CD
证明：如图，连结CB ∵AB是⊙的直径 ∴∠ACB=90°
∵CD为⊙O的切线，∠BAC=30° ∴∠BCD=∠BAC=30°
又∵∠CBD=∠BAC+∠ACB=30°+90°=120° ∴在△BCD中
∴∠D=180°-（∠CBD+∠BCD）=30° ∴∠BAC=∠BDC即AC=CD
习题6.两圆相交于两点A和B，在每一个圆中各作弦AC和AD，使切于另一圆。
求证：∠ABC=∠ABD
证明：如图，AC和AD分别是⊙ ，⊙ 的切线，交⊙ ，⊙ 于C和D
∴∠CAB=∠ADB，∠DAB=∠ACB 在△ABC和△ABD中
∠ABC=180°-（∠CAB+∠ACB） =180°-（∠ADB+∠DAB） =∠ABD即∠ABC=∠ABD
习题7.四边形ABCD中，设AD=BC，且M和N是对角线AC和BD的中点。 证明：直线AD和BD与MN成等角 证明：如图，四边形ABCD中AD=BC
M和N点分别为对角线AC和BD的中点,MN交AD、BC分别于G和F. 下证：∠AGF=∠BFG
连结BM并延长至E, ?BM=ME。连结AE和CE 显然：ABCD为平行四边形。连结DE ∴∠BFG=∠AHG ∵AD=BC，AD=AE
而M和N分别是BD和BE的中点，∴MN∥DE ∴AG=AH
∴∠AGF=∠AHG=∠BFG
习题8.设延长△ABC的边BA至D，使AD=AC，则∠BCD=90°+（∠C-∠B）
证明：∵2∠BCD=2∠BCA+2∠1 ①
AD=AC，∠1=∠D
∴∠BAC = ∠1+∠D=2∠1 ∠B+∠BCA+2∠1=180°
即：2∠1=180°-∠B-∠BCA ② 将②代入①得：
122∠BCD=2∠BCA+180°-∠B-∠BCA ∴∠BCD=90°+（∠C-∠B）
习题9.设O为△ABC内部任一点，则OA+OB＜CA+CB
证明：连AO延长交BC于D
△ADC中AC+CD＞AD ① △OBD中，OD+DB＞OB ②
由①②有：CB+AC=AC+CD+DB＞AD+DB=AO+OD+DB＞AO+BO
习题10.三角形的一中线小于夹此中线两边的半和，而大于这半和与第三边一半的差
已知：△ABC中，AD是BC边上的中线
求证：（AB+AC）-BC＜AD＜（AB+AC） 证明：作DE平行于AB交AC于E 则DE=AB，AE=AC
在△ADE中，则AD＜AE+DE=（AB+AC）
延长AD至F，使DF=AD，则有AD+BD＞AB，AD+DC＞AC ∴AF+BC＞AB+AC
∴2AD＞AB+AC-BC即AD＞（AB+AC）-BC 综上得：（AB+AC）-BC＜AD＜（AB+AC）
习题11.证明：梯形两条对角线中点的连线平行于底边
已知：如图所示，梯形ABCD中，AD//BC,E,F分别是BD,AC 中点。 求证：EF//AD A证明：过点A做AG//BD，并与CB延长线相交于点G.
又因为AD//BC
所以四边形AGBD是平行四边形 HEF取AG的中点H，连结EH 由于E是BD的中点
所以EH//AD
GB又连结HF
所以HF//BC//AD
从而 H，E，F 三点共线 于是EF//AD
习题12.二圆外切于点P. AB是一条外公切线（A，B为切点）. 则PA?PB
证明：如图?O1 ?O2外切于点P ，过点P作?O1 ?O2 的内公切线交AB于C.
121212121212121212121212DC? CA?CP
又?CB?CP
? ?CAP??CPA ??CBP??CPB
O1APCBO2??CAP??CBP??CPA??CPB??APB
而?CPA??CBP??APB?180
0??APB?90 ?PC?AB
0习题13.证明：三角形的三条外角平分线和对边相交所得三点共线。
已知：如图，AD，BE，CF 分别是?ABC三个外角的平分线且分别交CB，CA，BA于D，
FE，F三点.
求证：D，E，F三点共线.
证明：?AD是?BAE的角平分线 EAB
DCACCEBCAFCA同理：， ??EABAFBCB从而：BDCEAFABBCCA..?..??1 DCEAFBACBACB?BD?ACBD?D，E，F三点共线.
习题14.两圆有两条内公切线，证明这两线与连心线共点.
已知：如图所示?O1与?O2 外离，AB，CD是?O1与?O2 的两条内公切线且A，B，C，D分别为切点，O1O2 为连心线. 求证：AB，CD，O1O2 三点共线.
证明： ? AB，CD是?O1与?O2 两条内公切线，
则AB，CD必有交点.设AB，CD的交点为P. 下证 点P在O1O2 上即可.
连结O1 P，O2P. 此时PA，PC即为从?O1外一点引?O1
的两条切线.
则有P O1平分?APC.即?APO1?同理可得 ?DPO2?1?APC 21?DPB 2从而 ?O1PO2??APO1??APD??DPO2