11?APC??APD??DPB 221 =?APC??APD??APC
2 =?APC??APD
=
=1800
所以P，O1 ，O2 三点共线 即P在O1O2 所以AB，CD，O1O2三点共线.
习题15.利用锡瓦定理证明三角形下列三线共点 （1.） 三中线
已知：如图.AD，BE，CF 分别?ABC边BC，CA，AB上的中线. 求证：AD，BE，CF 三线共点
证明：? D，E，F 分别是中点
DCEAFBBDCEAF 从而..?1
DCEAFB 所以AD，BE，CF 三点共线.
（2.）三内角平分线.
已知：如图，AD，BE，CF分别是?ABC三内角平分线.
求证：AD，BE，CF三点共线.
证明：由AD，BE，CF分别是?ABC三内角平分线.
?BD?CE?AF?1
?BD?AB ，CE?BC ，AF?CA .
DCACEABAFBCB?BD.CE.AF?AB.BC.CA?1
DCEAFBACBACB故：AD，BE，CF 三点共线.
习题16.已知： C是Rt?ABC的直角顶点，以AB为边
作正方形ABCD，以AC边作正方形ACFG，它们都包含?ABC 求证：CE?BG
证明：?四边形ABDE，ACFG为正方形.
??GAC??BAE?90(A,90)E?R????B
00
R(A,900)??G，以A为旋转中心，有：C???则：CE=BG，GE?BG.
习题17.已知：圆内接四边形中BC=CD.
求证：AB?AD+ BC=AC
证明：连接BD交AC于E
由于BC=CD，则 ?1??2 在?ABC和?AED中
1??2?????22?????3??4???ABC~~?AED
ABAC??AB?AD?AE?AC ……..① AEAD? ?5??1 , ?1??2
? ?5??2.
1??2?????在?CDE和?CAD中
???????ECD??DCA??CDE~~?CAD
?CDCE ??ACCDCD2?AC?CEBC?CD2?BC2?AC?CE ………②
?由①和②有AB?AD?BC? AB?AD+ BC2?AE?AC?AC?CE
2 ?AC?(AE?CE)?AC
=AC
2习题18.平行四边形ABCD的底边BC固定,另一边AB长为a,则其对角线交E的轨迹为一
圆,圆心是BC中点,半径是
a. 2 ( 假设: 平行四边形ABCD底边BC的中点O ,AB边长为a,P为对角线AB,BD的交
点,BC为固定.)
求证:点P的轨迹是?O(
a) 2证明: 10 若P是平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,连接OP,由P,O分别是BD,BC的中点,故OP=
1aCD=. 22a), (完备性得证) 2a20.社P为?O()上任意一点,连接OP,分别过B,C作OP的平行线l1,l2.连接CP并延
2故P??O(
长交l1于A,连接BP并延长交l2于D,连接AD
则OP是?CAB和?BCD的中位线,于是AB=a,OD=a.且AD//CD, 从而P点是平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点 (纯粹性得证)
?点P的轨迹是?O(a).
2
习题19.设定圆中互相垂直的两弦的平方和是常数，则此两弦所在直线交点的轨迹是圆。
假设AB与CD是⊙O（r）中两条互相垂直的弦，且AB⊥CD于P,AB2?CD2?a(常数),求点P的轨迹.
证明:点P关于O的对称点也满足条件,故该轨迹为以O为圆心,以OP为半径的圆。 如图所示：连AO延长交⊙O于E,连AC、DB、CE， 则∠1+∠2=90°∴∠2+∠3=90°, 从而∠1=∠3?DEC23APONM1BE?CB,DE?EB?CB?EB?DB?CE
过
2?BD?CE?AC2?CE2?(2r)2?AC2?BD2?4r2点P作MN⊥OP有MP=NP
D?AB2?CD2?(AP?BP)?(CP?PD)2
?AP2?PB2?2AP?BP?CP2?PD2?2CP?PD
=(AP2?CP2)?(PB2?22PD)?4MP?AC2?BD2?4MP2
?4r2?4MP2?a?MP2?222OP?r?MP?2r?2a?r2? 4a 1 2?OP?8r?a42所求轨迹可能是以O为圆心
128r2?a为半径的圆珠笔。
习题20.将已知点到定圆上各点连线，求连线的中点E的轨迹。
假设点C为定点P到定圆⊙O(r)上各成连线的中点,求C点的轨迹. 探求：连接PO交⊙O于B易见轨迹关于直EP线PO对称 C设PA、PB中点分别为C、D，作切线PT、PT1，中点分别为E、F则C、D、E、F不共线， 估计
FOAO1DTBT1轨迹为圆弧
设CD中点为O，连EO1，设PA=a 则
1BC?2r?故
1a ? a ， aa BD?(2r?a)?r?CD?BC?BD?2r??(r?)?r22222DO1?CO1?1?EO?1OT?1r
22
r ra11po1???(r?a)?OP 222221r为半径的圆。 2所以，轨迹是以CD中点O为圆心，
1