例9-1
已知某种债券的面值为1000元，期限为10年，票面年利率为6%，年到期收益率为8%。试求该债券的麦考利久期和修正的久期。
解：
（1）债券的久期也可以称为债券的有效期限或麦考利久期，其计算公式为：
?1n?CtD?????t? tP0t?1?(1?K)?式中，D——债券的有效期限。
Ct——债券各期的现金流（利息或本金）。 K——债券的到期收益率。 t——任何有现金流的期数。
P0——债券的现值，由下式计算。
P0??t?1nCt t(1?K)（2）修正的久期=麦考利久期/（1+到期收益率） 已知条件 债券面值（元） 债券期限（年） 票面利率 到期收益率 年数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 1000 10 6% 8% 债券久期的计算 现金流 现金流的现值 60 55.56 60 51.44 60 47.63 60 44.10 60 40.83 60 37.81 60 35.01 60 32.42 60 30.01 490.99 1060 865.80 7.62 7.05 权重 0.0642 0.0594 0.0550 0.0509 0.0472 0.0437 0.0404 0.0374 0.0347 0.5671 1.0000 债券的久期（年） 债券修正的久期（年）
【例9-2】
某投资者于2004年12月20日购买一种债券，债券的票面利率为6%，每半年付息一次，到期日为2008年6月15日，到期收益率为8%，日计数基准为实际天数/365。试求该
债券的麦考利久期和债券修正的久期。
解：
（1）债券的久期也可以称为债券的有效期限或麦考利久期，其计算公式为：
?1n?CtD?????t? tP0t?1?(1?K)?式中，D——债券的有效期限。
Ct——债券各期的现金流（利息或本金）。 K——债券的到期收益率。 t——任何有现金流的期数。
P0——债券的现值，由下式计算。
P0??t?1nCt
(1?K)t（2）修正的久期=麦考利久期/（1+到期收益率）
债券的基本资料 成交日 到期日 票面利率 到期收益率 每年付息次数 日计数基准 麦考利久期（年） 修正的久期（年）
【例9-3】
某债券面值1000元，票面年利率8%，期限10年，目前的市价为960元，求其到期收益率。若到期收益率降低1%，则债券的价格将变为多少？
解：
（1）债券的久期也可以称为债券的有效期限或麦考利久期，其计算公式为：
2004/12/20 2008/6/15 6% 8% 2 实际天数/365 3.18 3.06
?1n?CtD?????t?
P0t?1?(1?K)t?式中，D——债券的有效期限。
Ct——债券各期的现金流（利息或本金）。 K——债券的到期收益率。 t——任何有现金流的期数。
P0——债券的现值，由下式计算。
P0??t?1nCt t(1?K)（2）修正的久期=麦考利久期/（1+到期收益率）
（3）债券价格的变化量与债券到期收益率变化之间的近似关系如下：
?P??Dm??y P0式中，△P——债券价格的改变量。 P0——债券最初的价格。 Dm——债券修正的久期。 y——债券的年到期收益率。
△y——债券到期收益率的改变量。
债券价格的变化量与债券到期收益率变化之间的近似公式是在假定债券的价格变动率与到期收益率变动量之间具有线性关系的条件下得出的，它表明如果到期收益率增加1%，则债券价格将下降DM%，反之，如果到期收益率下降1%，则债券价格将升高DM%。 债券的已知数据 1000.00 债券面值（元） 到期收益率 票面利率 期限（年） 目前市价（元） 到期收益率变化量 【例9-4】
某债券面值1000元，票面年利率8%，期限10年，目前的市价为1000元。如果预计未来的到期收益率将为9%，试利用精确公式预测债券的价格。
解：
（1）债券的久期也可以称为债券的有效期限或麦考利久期，其计算公式为：
债券价格预测 8.61% 7.19 6.62 0.07 1023.51 8.00% 麦考利久期（年） 10.00 修正的久期（年） 960.00 债券价格变动率近似值 -1.00% 变动后债券的近似价格（元） ?1n?CtD?????t?
P0t?1?(1?K)t?式中，D——债券的有效期限。
Ct——债券各期的现金流（利息或本金）。 K——债券的到期收益率。 t——任何有现金流的期数。
P0——债券的现值，由下式计算。
P0??t?1nCt t(1?K)（2）修正的久期=麦考利久期/（1+到期收益率）
（3）一阶近似。债券价格的变化量与债券到期收益率变化之间的近似关系如下：
?P??Dm??y P0式中，△P——债券价格的改变量。 P0——债券最初的价格。 Dm——债券修正的久期。
y——债券的年到期收益率。
△y——债券到期收益率的改变量。
债券价格的变化量与债券到期收益率变化之间的近似公式是在假定债券的价格变动率与到期收益率变动量之间具有线性关系的条件下得出的，它表明如果到期收益率增加1%，则债券价格将下降DM%，反之，如果到期收益率下降1%，则债券价格将升高DM%。
（4）精确预测。实际上，债券的价格和到期收益率的变化之间并不具有严格的线性关系，为了反映二者之间的精确关系，需要引入凸度这个参数，其计算公式为：
Ct?t?(t?1)t1?1t?1(1?y)V???2P0(1?y)2n?Ct?111 ????t?(t?1)?(1?y)t?2P0(1?y)2t?1???n
式中，V——凸度。 n——期限。
Ct——第t年的现金流。
P0——债券的最初价格（现值）。
凸度反映了债券现金流的集中程度，现金流越集中，凸度越小，反之越大。借助于凸度，可以得出债券价格的变化量与债券到期收益率变化之间的精确关系如下：
?P??Dm??y?V?(?y)2 P0式中各符号的含义如前所述。
债券的已知数据 计算结果 1000 目前债券的到期收益率 债券面值（元） 8% 票面利率 麦考利久期（年） 10 修正的久期（年） 期限（年） 1000 到期收益率的变化量 目前市价（元） 付息方式 每年一次 预计债券价格的变动率 9% 预计未来到期收益率 预计债券的价格（元） 凸度的计算 年数 现金流 现金流现值 凸度
【例9-5】
某基金管理公司已建立一个养老基金，其债务是每年向受益人支付300万元，永不终止。基金管理者计划建立一个债券组合来满足这个要求，所有债券的到期收益率均为15%。如果债券组合由债券A和债券B组成，债券A的票面利率10%，期限5年、每年付息一次；债券B的票面利率8%、期限20年、每年付息一次。那么，要使债务完全免疫，每种债券的
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 80 80 80 80 80 80 80 80 80 1080 74.07 68.59 63.51 58.80 54.45 50.41 46.68 43.22 40.02 500.25 1000.00 30.27 8% 7.25 6.71 1% -6.41% 935.93
持有量为多少？
解：
债券组合管理的免疫策略
债券数据 年支付额（万元） 到期收益率
计算过程及结果
债务 现值（万元） 麦考利久期（年） 例9-6
已知股票价格的波动率为16元，某投资者持有1万股，假设股价变化服从正态分布，要求计算在置信水平为99%时风险价值。 解：
2200.00 7.67 麦考利久期（年） 投资比例 债券 债券A 债券B 组合 4.08 7.85 7.67 4.8% 95.2% 100.0% 债券基本数据 330 债券 债券A 债券B 15% 10% 8% 票面利率 5 20 期限（年） 1 1 每年付息次数 15% 15% 到期收益率 VaR?2.32?N??S
=2.32×1×4=9.28万元。
例9-7
假设某5年期附息债券的面值为100元，票面利率为6%，当前市场利率为7%，该债券交易价格为95元，市场利率的历史波动率为0.12，求该债券在99%置信水平下的风险价值。 解：
?1n?CFtD?????t ?tP0t?1?(1?K)?VaRB?2.32?BD?P0??y 1?y ?2.32?Dm?P0??y ?2.32?
已知数据： 票面利率= 市场利率= 置信水平=
计算过程：
6% 7% 99%
面值= 市场价格= 市场利率的波动率
100
95 0.12