闵行区2009学年第一学期高三年级调研考试
数学试卷参考答案和评分标准
一、填空题（每题4分） 1. ?x?1?；
3 2. 2； 3. 2；
4. ???,?1?； 5. x?y?5z; 6. 理a?b且a?c?；文b?c?； 7. 0.3A?0.4B?0.3C；8. 理arccos10. 理
3；文23； 9. ?2； 3411；文2； 11. 444； 12. 理?；文?2；
2313. 理1?23；文 33?2； 14 ?4.
二、选择题（每题4分） 15. A； 16. C； 17. B； 18. C 三、解答题（19题至23题）19.（本题满分14分）
(理科)取CD中点F，连AF，?E为PD中点，∴EF//PC，
∴?AEF（或其补角）的大小即为异面直线AE与PC所成的角的大小， (2分)
?PA?底面ABCD，∴?PDA就是PD与底面ABCD所成角，即?PDA?且PA?AD,PA?AC，由已知条件及平面几何知识，得：PD?2,
?6，
AD?3?ABAE?1AC?6,AF?157，于是PC?7,EF? (8分) 2212?(72152)?()722?? (12分) 772?1?2在?AEF中，由余弦定理得：cos?AEF?∴?AEF???arccos7， 77． (14分) 7即异面直线AE与PC所成的角的大小为arccos另解： 以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
?PA?底面ABCD，∴?PDA就是PD与底面ABCD所成角，即?PDA?PA?AD,PA?AC，由已知条件及平面几何知识，得：
?6，且
PD?2,AD?3?AB,∴A?0,0,0?,P?0,0,1?,C??????31????∴AE??0,?2,2??，PC?????31?3,30,E??0,2,2?? (4分)
????3,3,?1 (8分)
?????????AE?PC17?∴cos?????， (12分) ??????77AE?PC即异面直线AE与PC所成的角的大小为arccos7． (14分) 7（文科）取BC中点E，连AE,DE，?D为PC中点，∴DE//PB，
∴?ADE（或其补角）的大小即为异面直线AD与PB所成的角的大小. (2分)
?PA?底面ABC，∴?PCA就是PC与底面ABC所成角，即?PCA?PA?AB,PA?AC，由已知条件及平面几何知识，得：
?6，且
PC?2,AC?AB?3,PB?2，于是AD?1,DE?1,AE?6， (8分) 26AD?DE?AE4?1(12分) 在?ADE中，由余弦定理得cos?ADE??2AD?DE2?1?1411∴?ADE=arccos，即异面直线AD与PB所成的角的大小为arccos．(14分)
44????20.（本题满分14分）（1）m?n.∴m?n?0，得3a?2bsinA?0 （2分）
2221?1?由正弦定理，得a?2RsinA,b?2RsinB，代入得： （3分）
3sinA?2sinBsinA?0,sinA?0，∴sinB?B为钝角，所以角B?3， （ 5分） 22?. （7分） 3A?CA?C?cos?3cos(C?) 226（2）（理科）?cosA?cosC?2cos（或：cosA?cosC?cosA?cos?????A? ?3?13????cosA?cosA?sinA?3sin?A??） （10分）
223??由（1）知 A??0,???3????2???????sinA??,1? （12分） ， ∴????,A???,?3??2?3?33???3??3?,3? （14分） ?2? 故cosA?cosC的取值范围是?（文科）?sinA?3cosA?2sin?A??????， （10分） 3????3????2???????,1?，由（1）知 A??0,?,A???,（12分） ?，∴sin?A????323333???????? 故sinA?3cosA的取值范围是
?3,2? （14分）
t5N?0,) （4分） 2t0N?0,)21.（本题满分16分）（1）设当天的旅游收入为L，那么L=xt，得
?t2?160t0,(?1t0???12 L??25t0????6t?130t0,(?22当10?t?50时,L??12t?1600t??12?50?1600?50?50000（元） （5分）
?325?211250当50?t?200时，L??6t2?1300t??6?t? ??33?? ?t?N， ∴当t?108元时，Lmax?70416（元） （6分）
此时 x?652（人） （7分） 故当天接待旅游人数为652人时旅游收入最多，收入为70416元. （8分） （2）要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营，即每天的旅游收入上缴税收后不低于54000元， 因?12t?1600t2??2?max?50000?54000,?10?t?50?,显然不满足条件 （10分）
22由?6t?1300t?80%?54000?3t?650t?33750?0?50?t?200? （12分）
?0 （14分） 得 87?t?13.
因此520?x?778，故每天的游客人数应控制在520人到778人之间. （16分） 22.（本题满分16分）（1）∵等差数列?an?中，公差d?0，
∴??a2?a3?45?a2?a3?45?a2?5?????d?4?an?4n?3 （4分）
?a1?a4?14?a2?a3?14?a3?9n?1?4n?3?n?2n?1?S?n?2n?1?，bn?n?， （6分）
n?c2n?c（2）Sn?由2b2?b1?b3得
121151??，化简得2c2?c?0,c?0，∴c??（8分） 2?c1?c3?c21反之，令c??，即得bn?2n，显然数列?bn?为等差数列，
21∴ 当且仅当c??时，数列?bn?为等差数列. （10分）
2（3）（理科）?cn?∴Tn?1?8111 ????an?7??bn?n?1?nnn?111111n??????? 223nn?1n?1?8?n?4?f?n??Tn??an?3???0.9n???4n???0.9n?4?n?1??0.9n （12分）
n?1?n?bn??n*0.9n?n?1?4?0.9?1?0.1nn?N??f?n?1??f?n??4?0.9n???????? ??)当n?10时，∴当n?10时，f?n?1??f?n?，当n?10时，f(n?1)?f(n，
f?n?1??f?n?，∴f?n?max?f?10??f(11)?12.55??12,13?， （14分）
∴存在不小于13的整数，使f?n??13对一切n?N都成立，Mmin?13 （16分）
*(文科) ?cn?∴Tn?1?8111 ???a?7?bn?1nnn?1?n?n??11111n??????? 223nn?1n?1f?n??2bn4nn5151?Tn???1??1??? （12分） an?24n?5n?14n?5n?14n?5n?19?f(1)??,而n?2时
2f(n?1)?f(n)?5151?201??????04n?1n?24n?5n?1?4n?1??4n?5??n?2??n?1?∴?f?n??在n?2时为单调递减数列，此时f(n)max?f(2)?2 （14分）
∴存在不小于2的整数，使f?n??2对一切n?N都成立， Mmin?2 （16分）
*23.（本题满分18分）（理科）（1）由y?
33333?ax?,?a?1?得ax??(y?)2,y?，由已知可得
422242??3?3?3 g?x??loga??x????,x?. （4分）
2?4?2????（2）?y?(x?)?（或设
32233在x?上是单调递增的，又a?1， 42x1?x2?3,则x1?x2?0,x1?x2?3, 2??x12?3x1?3???x22?3x2?3???x1?x2????x1?x2??3???0??x12?3x1?3???x22?3x2?3?，
?a?1,?loga?x12?3x1?3??loga?x22?3x2?3?）
所以函数g?x?在区间?m,n??m???3??上为增函数，因此 （6分） 2?g?m??logam2?3m?3?loga?p?3m?,g?n??logan2?3n?3?loga?p?3n?.
即m?3m?3?p?3m,n?3n?3?p?3n,?22?????3??m?n?. ?2???所以 m、n是方程x?3x?3?p?3x,x??,???的两个相异的解. （8分）
2?3?2????36?4(3?p)?0?3?392设h?x??x?6x?3?p，则?h()??6??3?p?0 （10分）
2?243?3???215为所求. （12分） 43322另解：由p?x?6x?3,x? 可转化为函数y?x?6x?3,x? 图像与函
2215数y?p的图像有两个交点问题，数形结合求得：?6?p??.
4所以?6?p??