习题3?7 1? 求椭圆4x2+y2=4在点(0? 2)处的曲率? 解 两边对x求导数得 8x?2yy??0? y???4xy? y????4y?4xy?y2? y?|(0? 2)?0? y??|(0? 2)??2? 所求曲率为 K?|y??|(1?y?)23/2?|?2|(1?0)23/2?2? 2? 求曲线y=lnsec x在点(x? y)处的曲率及曲率半径? 解 y??所求曲率为 K?曲率半径为 ??1K?1|cosx|?|secx|? 1secx?secx?tanx?tanx? y???sec2x? |y??|(1?y?)23/2?|secx|(1?tanx)23/22?|cosx|? 3? 求抛物线y=x2?4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径? 解 y??2x?4? y???2? 令y??0? 得顶点的横坐标为x?2? y?|x?2?0? y??|x?2?2? 所求曲率为 K?曲率半径为 ??1K?12|y??|(1?y?)23/2?|2|(1?0)23/2?2? ? 4? 求曲线x?a cos3t? y?a sin 3t在t?t0处的曲率? 解 y??所求曲率为 K?
|y??|23/2(1?y?)(asint)?(acos33x)???tant? y???(?tanx)?(acos3x)??13asint?cos4t? |?13asint?cost(1?tant)23/24|?|13asintcost3|?23|asin2t|?
Kt?t0?23|asin2t0|? 5? 对数曲线y?ln x上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径? 解 y??1x? y????1x2? |?1x122 K?|y??|(1?y?)23/2|?3/2?(1?x(1?x)23/2? x)3 ??(1?x)2x322? 1223 ???2(1?x)?2x?x?(1?x)2x22222?1?x(2x?1)x222? 令???0? 得x? 因为当0?x?值点? 当x?为??33222??时????0? 当x?2222时? ??0? 所以x?22, ln22)22是?的极小值点? 同时也最小时??y?ln??因此在曲线上点(处曲率半径最小??最小曲率半径? xa1a 6? 证明曲线y?ach 解 y??shxa在点(x??y)处的曲率半径为xay2a? ? y???ch? 在点(x??y)处的曲率半径为 (1?y?)|y??|23/2(1?sh?|1a2x ??chx2axa)|3/2(ch?|1a2xa)3/2chxa?ach|2xa?y2a? 7? 一飞机沿抛物线路径y?10000(y轴铅直向上??单位为m)作俯冲飞行??在坐标原点O处飞机的速度为v?200m/s飞行员体重G?70Kg??求飞机俯冲至最低点即原点O处时座椅对飞行员的反力? 解 y??
2x10000?x50001500015000? y???? y?|x?0?0? y??|x?0??
?|x?0?23/2(1?y?)|y??|?(1?0)123/2?5000? 5000 向心力F?mV2??70?20050002?560(牛顿)? 飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79?9?8?560?1246(牛顿)? 8? 汽车连同载重共5t? 在抛物线拱桥上行驶? 速度为21?6km/h? 桥的跨度为10m? 拱的矢高为0?25m ? 求汽车越过桥顶时对桥的压力? 解 如图取直角坐标系? 设抛物线拱桥方程为y?ax2? 由于抛物线过点(5? 0?25)? 代入方程得 a?0.2525?0.01? 于是抛物线方程为y?0? 01x2? y??0?02x? y???0?02? ?|x?0?(1?y?)|y??|23/2?(1?0)0.02323/2?50? 3 向心力为F?mV25?10(?21.6?10360050)2??3600(牛顿)? 因为汽车重为5吨? 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 5?103?9?8?3600?45400(牛顿)? *9??求曲线y?ln x在与x轴交点处的曲率圆方程? *10? 求曲线y?tan x在点(, 1)处的曲率圆方程? 4? *11? 求抛物线y?2px的渐屈线方程?
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