一元微积分学题库（7）连续函数的性质
一．计算下列极限： 1．lim1?2x?3x?2x2x?4解：原式=lim(1?2x?9)(x?2)(x?4)(1?2x?3)x?4=lim2(x?2)x?44=
1?2x?33x2(1?1?x2)2 2．lim解：原式=lim=lim(1?1?x)=2 22x?0x?0x?0x1?1?x 3．limlnx?0x?0sinxsinx解：原式=ln(lim)=ln1?0
x?0xx 4．lim(1?3tgx)ctgx
33tgx13tgx3解：原式=lim(1?3tgx)x?0=[lim(1?3tgx)x?0]=e3
5．limx?15x?4?x
x?1解：原式=lim4(x?1)(x?1)(5x?4?x)x?1=lim45x?4?xx?1=2
ex?1 6．lim
x?0x解：令ex?1?t，得x?ln(t?1)，当x?0时,t?0 原式=limt?0t=limln(1?t)t?01ln(1?t)1t=
t?01ln[lim(1?t)]1t=
1?1 lne二．证明方程x?asinx?b至少有一个不超过a?b的正根（其中a?0,b?0）. 证明：设f(x)?asinx?b?x，则f(x)在[0,a?b]上连续. 又f(0)?b?0，f(a?b)?a[sin(a?b)?1]?0. 若f(a?b)?0，则结论成立.
若f(a?b)?0，则由零点定理???(0,a?b)使得f(?)?0.
三．设f(x)在[0,1]上连续，且0?f(x)?1，证明：至少存在一点??[0,1]，使得f(?)??. 证明：设F(x)?f(x)?x，则F(x)在[0,1]上连续. 又F(0)?f(0)?0?f(0)?0,F(1)?f(1)?1?0 若F(0)?0或F(1)?0，则结论成立.
若F(0)?0或F(1)?0，则由零点定理???(0,1)使得f(?)?0.
f(x)?limf(x)?B，又存在x1?(a,b)使 四．设f(x)在(a,b)上连续，且lim?0?0x?ax?bf(x1)?B.证明f(x)在(a,b)上有最大值. 证明：取??f(x1?B),
??1, 当0?x?a??1时, f(x)?B?f(x1)?B. 即当x?(a,a??1)时，f(x)?f(x1).
??2, 当??2?x?b?0时, f(x)?B?f(x1)?B. 即当x?(b??2,b)时，f(x)?f(x1). 若a??1?b??2,f(x1)为最大值x1?(a,b).
若a??1?b??2,f(x)在[a??1,b??2]上连续,必有最大值.
f(x0)?f(x1), x0?[a??1,b??2].
?在(a,b)上f(x)取得最大值f(x0).
一元微积分学题库(12) 微分
一. 选择题:
1. 已知y?tan2x,则dy等于(C).
2222tgxsecxdx2tgxsecx. ; (C) ; (D) tgxdx21?x1． 一元函数连续是可导的（A）；一元函数可导是可微的（C）. （A）必要条件；（B）充分条件；
（C）充要条件；（D）既非充分条件又非必要条件.
(A) 2tgxdx ; (B)
2. 函数f(x)?(x2?x?2)x3?x不可微点的个数是（B）. （A） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题：
1． 已知函数f(x)?x2在点x处的自变量的增量?x?0.2，对应的函数增量?y的线性主部是dy??0.8，那末自变量的始值为?2. 2． y?ln[ln2(ln3x)]，则dy?2dx.
lnx?lnlnx??13. d(sinx?c)?cos3xdx; d(?2e2?c)?e2dx;
3xxd(2x?c)?1xdx; d(ln(x?1)?c)?1dx. x?1一．
利用微分求近似值：cos59?.
??解：59???. 这里?x较小应用(p150)(2)式,得
3180????? cos59??cos(?)?cos?sin?318033180?13????0.5151. 22180二．
已知测量球的直径D时有1%的相对误差，问用公式V??6D3计算球的体积时，相对误差有多
少？
解：我们把测量D时所产生的误差当作自变量D的增量?D，那么，利用公式V??6D3来计算V时
所产生的误差就是函数V的对应增量?V.当?V很小时，可以利用微分dV近似地代替增量?V，即
?V?dV?V'??D??2D2??D.
其相对误差sv?三．
?V?V?3()?3%. VD求由方程sin(st)?ln(s?t)?t所确定的隐函数s在t=0处的微分ds.
解：对方程两边关于t求导，得
s'?1(s't?s)cos(st)??1.
s?t当 t=0时, 得s'??s2?s?1.
又对原方程,当 t=0时, 得lns?0即 s=1. ds???1?1?1?1 dt
一元微积分学题库（13）中值定理
一．选择题：
1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B）.
(A)f?x??1?3x2,x???1,1?; (B)f?x???x?4?,x??0,8?;
2(C)f?x??x3,x?[?1,3];
1?2?xsin,x?0x???1,1?. (D)f?x???x??0,x?03?x22.对于函数f?x??，在区间?0,1?上满足拉格朗日中值定理的点?是(A).
3(A)
111; (B)?; (C); (D)1. 233二.应用导数证明恒等式：arcsinx?arccosx?处的讨论）
证：令f?x??arcsinx?arccosx
?2??1?x?1?.（注意：对x??1
当x???1,1?时，f'?x???arcsinx?'??arccosx?'?11?x2?11?x2?0
?f?x??C（C为常数）. 特别地，取x?0,则求得C?f?0??当x??1时，f??1???当x?1时，f?1???2
?2????2
?2?0??2
? 当x???1,1?时，arcsinx?arccosx?三.设a?b?0，证明：
a?baa?b. ?ln?abb?2
证：设f?x??lnx，在[b,a]上利用拉格朗日中值定理，有：
lna?lnb1??ln??'??b???a?
a?b??111?? a?ba?baa?b. ?ln?abb?四.证明：不论b取何值，方程x3?3x?b?0在区间??1,1?上至多有一个实根.
证：反证法.设f?x??x3?3x?b，且在区间??1,1?上有两个以上实根，其中两个分别记为x1,x2，不妨设?1?x1?x2?1，则f?x1??f?x2??0，由罗尔定理，在??1,1?内至少有一点?，使f'????0. 而f'?x??3x2?3在??1,1?内恒小于0，矛盾.命题成立.
五.构造辅助函数，证明不等式e???e.
证：设f?x??lnx，则在区间?e,??上，f????ln?，f?e??1.
根据拉格朗日中值定理，在?e,??内至少存在一点?使
f????f?e?1?f'????,?e?????
??e?即ln??1????e?? 又?e????
?ln??1????e???1????e?e??e
?eln???即?e?e?
六.设函数f?x?和g?x?在?a,b?上存在二阶导数，且g''?x??0,
f?a??f?b??g?a??g?b??0，证明 （1） 在(a,b)内g?x??0； （2） 在(a,b)内至少存在一点?，使
f???f''???. ?g???g''???证：（1）反证法.设（a,b）内存在一点x1使g(x1)?0，则在?a,x1?上有g(a)=g(x1)=0,由罗尔定理知在(a,x1)内至少存在一点ξ1使g'(ξ1)=0. 同理在(x1,b)内也至少存在一点ξ2使g'(ξ2)=0. ∵g'(ξ1)=g'(ξ2)=0
∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点?3使g''(?3)?0,这与g''(x)?0矛盾，故在?a,b?内
g?x??0.
（3） 令F(x)?f(x)g'(x)?g(x)f'(x)
由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在
???a,b?使得F'????0即f???g''????f''???g????0
由于g????0,g''????0，故
f???f''???. ?g???g''???一元微积分学题库（14）罗必塔法则
一.求下列极限：
ex?e?x?21.lim x?01?cosx