解：函数在定义域(??, ??)内二阶导数存在，并且
1y??f?(x)?(4x3?12x?8)
51y???f??(x)?(12x2?12)
5令y??0, y???0，解得，x??1, x?1, x?2
x f?(x) f??(x) (??,?2) f(x)图- + ? ?2 0 + 极小 (?2,?1) + + ? ?1 + 0 拐点 (?1,1) + - ↗ 1 0 0 拐点，不是极值点 (1,??) + + ? 形
108642-4-2-22
四、求曲线y?解：
1.510.50x的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x?0, x?2所围成的平面图形的面积最小.
-0.5-2-101 设切点的坐标为(t,t)，则切线的斜率为k?12t1t 212t，所以切线方程为
y?x?当x?2时，y?1t?1t 2当y?0时，x??t， 所以，三角形的面积为
?1111S?(t?2)(?t)?(t2?4t2?4t2)
24t2113311??dS132令?(t?2t2?2t2)?0 dt422, t??2(舍去) 32即当t?时，三角形的面积最小，从而该曲线与切线l及直线x?0, x?2所围成的
3平面图形的面积最小，此时切线方程为：
解得t?y?66 x?46一元微积分学题库（19）不定积分
一.是非题：
1．?f'(x)dx?f(x).( F ) 2. d[?f(x)dx]?f(x).( F )
3. 已知?f(x)dx?F(x)?c,则?f[g(x)]dx?F[g(x)]?c.( F )
11sin2x,?cos2x,24二.填空：
4.
1?cos2x是同一个函数的原函数( T ). 21.
?(1?x)221dx?x2?4x?2?c . 3xxx32. ?(3ex?22x)dx?3e??c. 2xxx2dx?.x?tanx?c 3. ?21?x 4. ?(1?sinx?cosx)dx?x?cosx?sinx?c 5. ?(21?x2?sec2x)dx?arcsinx?tanx?c.
6. 设f'(tg2x)?sec2x，则f(x)?x?12x?c. 27. 已知曲线通过点(e,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，则曲线方程为.
y?lnx?1. 三.求下列不定积分 1. ?(2tan?3cotx)2dx 解:
?(2tan?3cotx)2dx??(4tanx?9cot2x?12)dx??(4sec2x?9csc2x?1)dx
?4tanx?9cotc?x?cx2. ?cos2dx.
2x1?cosx1解：?cos2dx??dx?(x?sinx)?c.
22213. ?dx.
cosx2sin2x解：
1sin2x?cos2x11dx?dx?(??cosx2sin2x?cosx2sin2x?cos2xsin2x)dx?tanx?cotx?c
4．?cos2xdx.
cosx?sinxcos2xcos2x?sin2xdx??dx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?c 解：?cosx?sinxcosx?sinx5．??1?x?2dx.
x解：??1?x?2dx?x?(x?1242?2x?x)dx?2x?x2?x2?c．
35123235?10?x?1四．已知f?(lnx)??且f(0)=0求f(x).
x?1?x?1??f(x)??x解：?e?dx?x?c1x?0???f(x)??0?0?exdx?ex?c2??x?0x?0x?0
又由于f?(x)在x=0可导,则f(x)在x=0连续， 所以f(-0)=f(+0)=f(0)=0得：c1?0;c2??1
x?0?xf(x)??x
?e?1x?0一元微积分学题库(22) 几种特殊类型函数的积分
一．
求下列有理函数的不定积分： 2x?3 1．?2dx .
x?3x?10d(x2?3x?10)2x?3解：?2?ln(x2?3x?10)?c dx=?2x?3x?10x?3x?10=ln(x?5)?ln(x?2)?c .
3 2．?2dx .
x?13ABx?C解：3 , 比较系数得：A?1,B??1,C?2 ??2x?1x?1x?x?113(2x?1)?1?x?2322dx =(?)dx?ln(x?1)?dx?x3?1?x?1x2?x?1?x2?x?11d(x?)21d(x?x?1)32 =ln(x?1)??2 ??22x?x?113(x?)2?()2221x?1312?c =ln(x?1)?ln(x2?x?1)??arctg223322 =lnx?1x?x?12?3arctg2x?13?c .
二.求下列三角有理式的不定积分：
dx 1．? .
3?cosx1?t2x2dt解：令t?tg则cosx? dx?21?t21?t22dt2dtdt1tdx1?t2?=??arctg?c ?3?cosx?1?t2?3(1?t2)?(1?t2)?t2?2223?1?t2xtg1arctg2?c . =22 2．?tg4xsec4xdx .
解：?tg4xsec4xdx=?tg4xsec2xd(tgx)=?tg4x(1?tg2x)d(tgx)=?(tg6x?tg4x)d(tgx)
11 =tg7x?tg5x?c .
75 3．?sec3xdx .
解：?sec3xdx=?secx?sec2xdx=?secxd(tgx)=tgxsecx??tgxd(secx) =tgxsecx??tgx?tgxsecxdx=tgxsecx??(sec2x?1)secxdx =tgxsecx??secxdx??sec3xdx
所以，2?sec3xdx=tgxsecx??secxdx=tgxsecx?lntgx?secx?c
1即：?sec3xdx=[tgxsecx?lntgx?secx]?c
2三.求下列无理函数的不定积分：
1．?解：?x?1?1dx .
x?1?1x?1?1x?2?2x?1x?1dx=?dx?x?2lnx?2?dx
xxx?1?1令x?1?t，则x?t2?1；dx?2tdt. 于是
?x?12t2t2?1?1dtt?1dx??2dt?2?2dt?2t?2?2?2t?ln?c xt?1t?1t?1t?1=2x?1?lnx?1?1x?1?1?c
x?1?1x?1?1故?x?1?1dx=x?2lnx?4x?1?2lnx?1?1x?1?1x?1?1?c
?c
=x?4x?1?2lnx?2ln=x?4x?1?4ln(x?1?1)?c . 2．?1?xdx . 1?x1?x1?t2?4t?t则：x?,dx?dt 解：令2221?x1?t(1?t)?1?x?4t212tdx=?dt?2td()??2arctgt?c 2222?1?x(1?t)t?1t?1