气压），于是，
p?pa??g[?22g(r2?r02)?z]
在顶盖下表面，z?0，此时压强为
p?pa?R1??2(r2?r02) 2 顶盖下表面受到的液体压强是p，上表面受到的是大气压强是pa，总的压力为零，即
?0R12(p?pa)2?rdr????(r2?r02)2?rdr?0
02 积分上式，得 r02?R12?2m R，r0?222-16．已知曲面AB为半圆柱面，宽度为1m，D=3m，试求AB柱面所受静水压力的水平分力Px和竖直分力Pz 。 [解] 水平方向压强分布图和压力体如图所示： 11?D?3Px??gD2b??g??b??gD2b 22?2?83??9810?32?1?33109N 81????Pz??g?D2?b??gD2b 4?416?2?9810?3.142?3?1?17327N 1614h时，闸门可自动打开。 152-17．图示一矩形闸门，已知a及h，求证H>a?
[证明] 形心坐标zc?hc?H?(a? 则压力中心的坐标为
2hhh)??H?a? 5210zD?hD?zc?Jc?JczcA1Bh3;A?Bh 12hh2zD?(H?a?)?1012(H?a?h/10)当H?a?zD，闸门自动打开，即H?a?14h 15
第三章 流体动力学基础
3-1．检验ux?2x?y, uy?2y?z, uz??4(x?y)z?xy不可压缩流体运动是否存在？ [解]（1）不可压缩流体连续方程
22?ux?uy?uz???0 ?x?y?z（2）方程左面项
?uy?ux?u?4y；z??4(x?y) ?4x；?y?x?z（2）方程左面=方程右面，符合不可压缩流体连续方程，故运动存在。
3-2．某速度场可表示为ux?x?t；uy??y?t；uz?0，试求：（1）加速度；（2）流线；（3）t= 0时通过x=-1，y=1点的流线；（4）该速度场是否满足不可压缩流体的连续方程？ [解] （1）ax?1?x?t
ay?1?y?t 写成矢量即 a?(1?x?t)i?(1?y?t)j
az?0
（2）二维流动，由
dxdy?，积分得流线：ln(x?t)??ln(y?t)?C1 uxuy即 (x?t)(y?t)?C2
（3）t?0,x??1,y?1，代入得流线中常数C2??1
流线方程：xy??1 ，该流线为二次曲线
（4）不可压缩流体连续方程：
?ux?uy?uz???0 ?x?y?z?uy?ux?u?1,??1,z?0，故方程满足。 已知：?x?y?z333-3．已知流速场u?(4x?2y?xy)i?(3x?y?z)j，试问：（1）点（1，1，2）的加速度是多少？（2）
是几元流动？（3）是恒定流还是非恒定流？（4）是均匀流还是非均匀流？ [解]
ux?4x3?2y?xyuy?3x?y3?zuz?0
ax?dux?ux?u?u?u??uxx?uyx?uzxdt?t?x?y?z
?0?(4x3?2y?xy)(12x2?y)?(3x?y3?z)(2?x)?0代入（1，1，2）
?ax?0?(4?2?1)(12?1)?(3?1?2)(2?1)?0?ax?103同理：
?ay?9
??因此 （1）点（1，1，2）处的加速度是a?103i?9j
（2）运动要素是三个坐标的函数，属于三元流动 （3）
?u?0，属于恒定流动 ?t（4）由于迁移加速度不等于0，属于非均匀流。
3-4．以平均速度v =0.15 m/s 流入直径为D =2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d=1mm的排孔流出，假定每孔初六速度以次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？
[解] 由题意qV?v?D24?0.15??4?0.022?0.047?10?3m3/s?0.047L/s
7v2?0.98v1；v3?0.982v1；······；v8?0.98v1
qV??d24(v1?0.98v1?0.98v1???0.98v1)?27?d24v1Sn
式中Sn为括号中的等比级数的n项和。
由于首项a1=1，公比q=0.98，项数n=8。于是
a1(1?qn)1?0.988Sn???7.462
1?q1?0.984qV14?0.047?10?3v1?2??8.04m/s 2?dSn??0.001?7.462v8?0.987v1?0.987?8.04?6.98m/s
3-5．在如图所示的管流中，过流断面上各点流速按抛物线方程：u?umax[1?(r2)]对称分布，式中管道r0半径r0=3cm，管轴上最大流速umax=0.15m/s，试求总流量Q与断面平均流速v。
[解] 总流量：Q?udA?A??r00rumax[1?()2]2?rdr
r0 ??2umaxr02??2?0.15?0.032?2.12?10?4m3/s umaxr02?断面平均流速：v?Q?222?r0?r0?umax?0.075m/s 23-6．利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所示。已知输水管直径d=200mm，测得水银差压计读书hp=60mm，若此时断面平均流速v=0.84umax，这里umax为皮托管前管轴上未受扰动水流的流速，问输水管中的流量Q为多大？（3.85m/s）
[解] ?2pAuAp?? ?g2g?g2uAppA?????(?1)hp?12.6hp 2g?g?g??uA?2g?12.6hp?2?9.807?12.6?0.06?3.85m/s Q??4d2v??4?0.22?0.84?3.85?0.102m3/s
3-7．图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知dA=200mm，dB=400mm，A点相对压强pA=68.6kPa，B点相对压强pB=39.2kPa，B点的断面平均流速vB=1m/s，A、B两点高差△z=1.2m。试判断流动方向，并计算两断面间的水头损失hw。
[解] ??42dAvA??42dBvB
2dB4002 ?vA?2vB?()?1?4m/s
dA200 假定流动方向为A→B，则根据伯努利方程
22pA?AvApB?BvBzA???zB???hw
?g2g?g2g其中zB?zA??z，取?A??B?1.0
22pA?pBvA?vB?hw????z
?g2g68600?3920042?12???1.2
98072?9.807?2.56m?0
故假定正确。
3-8．有一渐变输水管段，与水平面的倾角为45o，如图所示。已知管径d1=200mm，d2=100mm，两断面的间距l=2m。若1-1断面处的流速v1=2m/s，水银差压计读数hp=20cm，试判别流动方向，并计算两断面间的水头损失hw和压强差p1-p2。