A. 700 B. 140 C. 1260 D. 1200 答案：C 解析：
M1?{2a,2b,4c}，
，
N1?8!?420，
2!?2!?4!，
M1?{3a,1b,4c}，
N1?8!?2803!?1!?4!M1?{3a,2b,3c}N1?8!?5603!?2!?3!，
N?N1?N2?N3?1260
26．一糕点店生产8种糕点，如果一盒内装有12块各种糕点，并且可以认为每种糕点无限多，那么你能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）？（ ） Ａ．50000 Ｂ．50388 Ｃ．55000 Ｄ．52788 答案： B
解析：这是一个组合问题，S?{??a1,??a2,??a3,?,??a8}的12-可重组合，所以
?12?8?1??19?N???????50388
?12??12?27．在一次聚会上有15位男士和20位女士，则形成15对男女一共有多少种方式数（ ） A．
20!20!2015 B. C. 15 D. 20 5!15!答案：A
分析： 考虑将20位女士固定，将15位男士依此分派给20位女士，则放法数为
P(10,15)?20! 5!28．an?n的生成函数是（ ）
x211xA． B. C. D. ?(1?x)2(1?x)2(1?x)2(1?x)2答案：D
??11n??x，两边求导得 ??nxn?1，所以解析：A(x)??anx，由于21?tn?0(1?x)n?0n?0?n??xxnn?nxA(x)?ax?，所以 ??n22(1?x)(1?x)n?0n?0
计算题
1．试确定多重集S={1?a1,??a2,??a3,?,??ak}的r?组合数。 2．求S?{5a,3b}的6-排列数
解： 根据题意有：M1?{5a,b},M2?{4a,2b},M3?{3a,3b}
N1?6!6!6!?6,N2??15,N3??20 5!1!4!2!3!3!则的全排列数N?N1?N2?N3?41 3．求(1?2x?3x?4x)展开式中x的系数 4．求(1?2x?x)的展开式中x的系数,其中n?3。
2n23655?2n???5?? （n?3） ??解：(1?2x?x)=((1?x))?(1?x)又因为(1?x)2n2n2n2n。
?2n?k????k??x k?0??2n所以x5的系数为???2n??? （n?3） 5??5．求an?n?5的生成成函数。（n?0） 解：设A(t)??atnn?0?n，则A(t)??(n?5)tn?0?n??(n?1)t?4?tnnn?0n?0??
?(1?t)?2?4(1?t)?1?1?4?4t5?4t ?(1?t)2(1?t)2
解递归关系：H(n)?4H(n?1)?4H(n?2)， H(0)?1,H(1)?3。 答案：解特征方程x2-4x-4=0 x1=x2=2. 得H(n)=2n{1+n/2}
6．求重集S?{20?a,14?b,20?c}的10-组合数。 答案：C(10+3-1 , 10) 7．(a?b?c?d)100的展开式在合并同类项后一共有多少项？
答案：C(100+4-1 , 100).
8．解递推关系an?5an?1?6an?2?n?2，a0?解：递推关系an?5an?1?6an?22749,a1?.（n?2） 44?n?2? （1）
的特征方程为x2?5x?6?0，特征根为x1?2,x2?3.故其通解为
an?c1?2n?c2?3n.
因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系
an?5an?1?6an?2?n?2?n?2? （2）
有特征根an?An?B，其中A和B是待定常数，代入（2）式得
An?B?5[A(n?1)?B]?6[A(n?2)?B]?n?2
化简得2An?2B?7A?n?2,所以 ?2A?1
??2B?7A?211111解之得A?,B?.于是an?c1?2n?c2?3n?n?,………（7分）
24241127?c?c??2??144其中c1,c2是待定常数。由初始条件得?
11149?2c?3c???12?244?解之得c1?3,c2?1.所以an?3?2n?3n?111n?(n?2).………（9分 249．解递推关系an?5an?1?6an?2?2n?3，a0?5,a1?10.（n?2） 答案：an?2n?1?3n?n?2
10．求1到1000之间不能被5 ，6 ，或8整除的自然数的个数。
解：设A为1至1000的整数中能被5整除的数的个数；B为1至1000的整数中能被6整除的数的个数；C为1至1000的整数中能被8整除的数的个数.
则
?1000??1000??1000??1000?A???200,B??166,C??125,A?B???6??8??30??33,5????????
?1000??1000??1000?A?C???25,B?C??41,A?B?C???24??120??840??????所以
A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C?200?166?125?33?25?41?8?400
即所求为：1000?400?600.
11．在所有的n位数中，包含数字3、8、9但不包含数字0、4的数有多少？ 解：除去0、4，则在1、2、3、5、6、7、8、9这8个数组成的n位数中: 令S表示由这8个数字组成的所有n位数的集合，则S?8； 令P1表示具有性质：一个n位数不包含3； 令P2表示具有性质：一个n位数不包含8； 令P3表示具有性质：一个n位数不包含9；
n
令Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的集合(i?1,2,3) 则有容斥原理，A1?A2?A3?S??|A|?(|A?Ai1i?132|?|A2?A3|?|A1?A3|)
?|A1?A2?A3|
而
|Ai|?7n,i?1,2,3;|A1?A2|?|A2?A3|?|A1?A3|?6n，|A1?A2?A3|?5n
所以A1?A2?A3?8?3?7?3?6?5 12．求(1?2x?3x)的展开式中x的系数。 解：原式=(1?2x?3x)=
?5?45?5??5??5??5?4424334244(3x)?(1?2x)(3x)?(1?2x)(3x)?(1?2x)(3x)???????????(1?2x)(3x)?0??1??2??3??4?所以?5????(1?2x)5?5?4545nnnn3?5?x3的系数???23=80
?2?32x3x413．请确定在(x1?x2?2x3?2x4)8的展开式中x12x2项的系数。
试确定多重集S={??b1,3?b2,5?b3,7?b4}的10?组合数。 14．解递推关系：
?an?5an?1?6an?2?2n?3(n?2) ?a?5,a?101?0解：特征方程为
x2?5x?6?0，特征根为x1?1,x2?2,x3?2
nn所以对应的齐次递推关系式有an?c1?2?c2?3的通解
原递推式有特解为an?An?6an?2，代入原递推式得A=1，D=2，因此原递推式有通解
an?c1?2n?c2?3n?n?2，再将a0?5,a1?10代入通解得c1?2,c2?1，所以
nan?2n?1?3?n?2
有红球4个，黄球3个，白球3个，把它们排成一条直线，有多少种排法？ 15．求M?{4?a,3?b}的5-可重排列数。
t2t3t2t3t4解法1：A(t)=(1+t+?)(1?t???)
2!3!2!3!4! 所以 t的系数为：
5111 ??4!2!3!3!2!t5111 则的系数为：5!（?）=25 ?5!4!2!3!3!2!M?{4?a,3?b}的5-排列数有M1?{4?a,1?b}, M2?{3?a,2?b}, M3?{2?a,3?b}三
种情况。N1?5!5!5! ,N2?,N3?4!3!?2!2!?3!N?N1?N2?N3?5?10?10?25
15．求x1?2x2?4x3?28的正整数解的个数 解：
A(x)?(x?x2??)(x2?x4??)(x4?x8??) ?x7(1?x?x2??)(1?x2?x4??)(1?x4??) x7(1?x)(1?x2)(1?x4)?x(1?x)x(1?x)(1?x)?(1?x2)2(1?x4)(1?x4)37722
证明题
1．证明：边长为4的正三角形内任意5个点必有两点其距离不超过2。 答案：取个边中点将三角形等分为四个边长为2的三角形。则5个点中必然有两个落在同一个三角形内。
2．设x1,x2,?,xn是n个正整数，证明其中存在着连续的若干数，其和为n的倍数。 3．设S是n元集，则S的子集数是2n?C(n,0)?C(n,1)???C(n,n)。
4．某学生在37天里共做了60道数学题。已知他每天至少做1道题，求证：必存在连续的若干天，在这些天里该学生恰做了13道数学题。
证明：设该同学从第1天至第i?i?1,2,?,37?天共做了ai道数学题，则
1?ai?a2???a37?60.
令bi?ai?13?i?1,2,?,37?， 则
14?b1?b2??b37?73.