1222n2n(10)(Cn0)2?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n.
156.排列数与组合数的关系 mmAn?m！?Cn .
157．单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”
1m?1①某（特）元必在某位有Anm??11种；②某（特）元不在某位有Anm?Anm??11（补集思想）?An?1An?11m?1（着眼位置）?Anm?1?Am（着眼元素）种. A?1n?1（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkkAnm??kk种.
②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ann??kk??11Akk种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhhAhk?1种.
（3）两组元素各相同的插空
m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有
Am?1Annn?Cm?1种排法.
nn（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm. ?n158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方
nnnnn法数共有N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?(mn)!(n!)m.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有
N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n...?C2n?Cnm!nnnnn?(mn)!m!(n!)m.
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有Nm?Cp1?Cp2?n1...Cnm?m!?nnnp!m!n1!n2!...nm!.
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件
必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有N?mCp1?Cp2?n1...Cnm?m!nnna!b!c!... ?p!m!n1!n2!...nm!(a!b!c!...).
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，
nmnm这m个数彼此不相等，n2，件无记号的m堆，且n1，?，则其分配方法数有N?p!n1!n2!...nm!.
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，
n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则
p!n1!n2!...nm!(a!b!c!...)其分配方法数有N?.
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（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，
n2，?，nmn等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
nnmN?Cp1?Cp2?n1...Cnm?p!n1!n2!...nm!.
159．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为
f(n)?n![12!?13!1?14!???(?1)n1n!].
推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为
f(n,m)?n!?Cm(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)C(n?p)!???(?1)C(n?m)!?n![1?CmAn11234ppmmmm
CmAnm?CmAn22?CmAn23?CmAn44???(?1)pCmAnpp???(?1)mm].
160．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数
(1)方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）的正整数解有Cn?1个.
m?1(2) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）的非负整数解有 Cn?1个.
n?m?1(3) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）满足条件xi?k(k?N?,2?i?n?1)的非负整
?数解有Cn?1?(n?2)(k?1)个.
m?1(4) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N?,2?i?n?1)的正整数解有Cn?1?C1Cn?1n?m?1n?2m?n?k?2?Cn?2Cm?n?2k?3???(?1)2n?1n?2n?2n?1Cn?2Cm?1?(n?2)k个.
1n?12n?22rn?rrnnab?Cnab???Cnab???Cnb ; 161.二项式定理 (a?b)n?Cn0an?Cn二项展开式的通项公式
Tr?1?Cnarn?rb(r?0，1，2?，n).
r162.等可能性事件的概率
P(A)?mn.
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.n个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
kkn?kPn(k)?CnP(1?P).
168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）Pi?0(i?1,2,?); （2）P1?P2???1. 169.数学期望
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E??x1P1?x2P2???xnPn??
170.数学期望的性质
（1）E(a??b)?aE(?)?b.
（2）若?～B(n,p),则E??np.
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则E??171.方差
D???x1?E???p1??x2?E?21p.
?2?p2????xn?E??2?pn??
172.标准差 ??=D?.
173.方差的性质
(1)D?a??b??a2D?；
(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??174.方差与期望的关系
22D??E???E??. 175.正态分布密度函数
f?x??12?6?qp2.
?x???2622e,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表示个体
的平均数与标准差.
176.标准正态分布密度函数
f?x??12?6e?x22,x????,???.
177.对于N(?,?2)，取值小于x的概率
?x???F?x?????.
???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1?
?F?x2??F?x1?
?x????x1??????2???????????.
178.回归直线方程
n???xi?x??yi?y???b?i?1n??2，其中y?a?bx???xi?x??i?1??a?y?bxn?xyii?1ni?nxy2?i?1xi?nx2.
179.相关系数
nni r???xi?1n?x??yi?y?n ?i??xi?1n2i?1i?x??yi?y?n222.
?(xi?1i?x)2?(yi?1?y)2(?xi?nx)(?yi?ny)i?1|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
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180.特殊数列的极限
?0?（1）limqn??1n????不存在|q|?1q?1|q|?1或q??1.
?0(k?t)?kk?1akn?ak?1n???a0?at（2）lim??(k?t)tt?1n??bn?bn???b0tt?1?bk?不存在 (k?t)?.
（3）S?lima11?qn1?q??n???a11?q（S无穷等比数列?a1qn?1? (|q|?1)的和）.
181. 函数的极限定理
x?x0limf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a.
x?x0x?x0182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)?f(x)?h(x);
（2）limg(x)?a,limh(x)?a（常数）,
x?x0x?x0则limf(x)?a.
x?x0本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立. 183.几个常用极限 （1）lim1nn???0，lima?0（|a|?1）；
n??n（2）limx?x0，limx?x01xx?x0?1x0.
184.两个重要的极限 （1）limsinxxx?0?1；
x1??（2）lim?1???e(e=2.718281845?).
x??x??185.函数极限的四则运算法则 若limf(x)?a，limg(x)?b，则
x?x0x?x0(1)lim?f?x??g?x????a?b； x?x?0(2)lim?f?x??g?x????a?b; x?x?0(3)limf?x?g?x?x?x0?ab?b?0?.
186.数列极限的四则运算法则 若liman?a,limbn?b，则
n??n??(1)lim?an?bn??a?b；
n??(2)lim?an?bn??a?b；
n??(3)limn??anbn?ab?b?0?
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(4)lim?c?an??limc?liman?c?a( c是常数).
n??n??n??187.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）
f?(x0)?y?x?x0?lim?y?x?x?0?limf(x0??x)?f(x0)?x.
?x?0188.瞬时速度
??s?(t)?lim?s?t?v?t?0?lims(t??t)?s(t)?tv(t??t)?v(t)?t?y?x.
?t?0189.瞬时加速度
a?v?(t)?lim?t?0?tf(x)在(a,b)的导数
?t?0?lim.
190.
f?(x)?y??dydx?dfdx?lim?x?0?limf(x??x)?f(x)?x.
?x?0191. 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义
函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).
192.几种常见函数的导数 (1) C??0（C为常数）. (2) (xn)'?nxn?1(n?Q). (3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??1x；(logax)??1xlogea.
(6) (ex)??ex; (ax)??axlna. 193.导数的运算法则 （1）(u?v)'?u'?v'. （2）(uv)'?u'v?uv'. （3）()?vu'uv?uvv2''(v?0).
194.复合函数的求导法则
设函数u??(x)在点x处有导数ux'??'(x)，函数y?f(u)在点x处的对应点U处有导数
yu?f(u)fx(?(x)?)'''，则复合函数y?f(?(x))在点x处有导数，且yx'?yu'?ux'，或写作
f'?u(')x().
195.常用的近似计算公式（当x充小时） (1)1?x?1?12x;n1?x?1?1n11?xx； ?1?x；
(2)(1?x)??1??x(??R)； (3)ex?1?x；
(4)ln(1?x)?x；
(5)sinx?x（x为弧度）； (6)tanx?x（x为弧度）； (7)arctanx?x（x为弧度）
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196.判别f(x0)是极大（小）值的方法 当函数f(x)在点x0处连续时，
（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值. 197.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d|z|=|a?bi|=.（a,b,c,d?R）
198.复数z?a?bi的模（或绝对值）
a?b. 22199.复数的四则运算法则
(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdc?d22?bc?adc?d22i(c?di?0).
200.复数的乘法的运算律 对于任何z1,z2,z3?C，有 交换律:z1?z2?z2?z1.
结合律:(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3). 分配律:z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式
d?|z1?z2|?(x2?x1)?(y2?y1)（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.
22 202.向量的垂直
??????????非零复数z1?a?bi，z2?c?di对应的向量分别是OZ1，OZ2，则
??????????z OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?2为纯虚数?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2
z1222?|z1?z2|?|z1|?|z2|?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2 (λ
为非零实数).
203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程ax2?bx?c?0， ①若??b?4ac?0,则x1,2?2?b?b?4ac2ab2a2; ②若??b2?4ac?0,则x1?x2??;
③若??b2?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根
x??b??(b?4ac)i2a2(b?4ac?0).
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