初中数学“图形与几何”内容
八年级下册
1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。
AD
2、全等三角形的判定方法：
（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS） 几何语言：如图所示
∵AB=DE，BC=EF，AC=DF ∴△ABC≌△DEF
（2）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS） 几何语言：如图所示
∵AB=DE，∠A=∠D，AC=DF ∴△ABC≌△DEF
（3）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA） 几何语言：如图所示
∵∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E ∴△ABC≌△DEF
（4）角角边：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） 几何语言：如图所示
∵∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF ∴△ABC≌△DEF
（5）斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（H L）
ADBCEF几何语言：如图所示 ∵△ABC≌△DEF ∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，BC=EF，AC=DF
3、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 （性质）几何语言： （判定）几何语言： A 如图所示 如图所示 F CE∵ PF平分∠APB（或∠APF=∵EC⊥PA于C，ED⊥PB ∠BPF），EC⊥PA于C，ED⊥于D，EC=ED PB于D ∴点E在∠APB的平分P BD∴EC=ED 线上 4、角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 5 、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
CBFE几何语言：如图所示 ∵AB=DE，BC=EF（AB=DE，AC=DF） ∴△ABC≌△DEF M （性质）几何语言： （判定）几何语言： C 如图所示 如图所示 ∵MN是线段AB的垂直平 ∵CA=CB DA分线（或MN⊥AB于D，ADB∴点C在线段AB的垂直 ＝BD） 平分线MN上 N∴CA=CB 6、线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 A7、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） 几何语言：
如图所示，在△ABC中
BC∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（等边对等角）
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
A几何语言：
如图所示，在△ABC中 12① ∵AB＝AC，BD＝DC
∴∠1＝∠2，AD⊥BC BCD②∵AB＝AC，∠1＝∠2
∴AD⊥BC，BD＝DC
③∵AB＝AC，AD⊥BC
∴∠1＝∠2，BD＝DC
8、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
A几何语言：
如图所示，在△ABC中
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC（等角对等边） BC9、等边三角形的性质定理：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 。
（判定定理）几何语言： A （性质定理）几何语言： 如图所示，在△ABC中 如图所示， （1）∵∠A=∠B=∠C ∵△ABC是等边三角形 ∴△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC， B ∠A=∠B=∠C=60° C（2）∵∠A=∠B，∠A=60°
∴△ABC是等边三角形
10、等边三角形的判定定理：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 11、直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：如图所示
A∵∠C＝90°，∠B＝30°
1∴AC＝ AB（或者AB＝2AC） B2C
12、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。 （定理）几何语言： （逆定理）几何语言： A 如图所示， 如图所示，在△ABC中 B∵AC2+BC2=AB2 在Rt△ABC中， CAC2+BC2=AB2 ∴△ABC是直角三角形 13、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。 14、直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （2）直角三角形的两个锐角互余。
（性质）几何语言：如图所示， A（1）∵△ABC是直角三角形，D是AB的中点 D1 ∴CD=AB（或AB=2CD） B2C （2）∵△ABC是直角三角形 ∴∠A+∠B=90°
15、平行四边形的性质： AD（1）平行四边形的对边平行。 （2）平行四边形的对边相等。 OB（3）平行四边形的对角相等。 C（4）平行四边形的对角线互相平分。
（性质）几何语言：如图所示，
（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC
（2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AD=BC
（3）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC，∠ BAD=∠BCD
（4）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC，OB=OD
16、平行四边形的判定方法：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义）
AD（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
O（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
BC（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
16、三角形的中位线定理：
（判定）几何语言：如图所示，
（1）∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）∵AB=CD，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
（3）∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
（4）∵ABCD（或ADBC）
∴四边形ABCD是平行四边形
（5）∵∠ABC=∠ADC，∠ BAD=∠BCD
∴四边形ABCD是平行四边形
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：如图所示，在△ABC中 A1∵D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE=BC ED217、两条平行线间的任何一组平行线段相等 。 BC18、矩形的性质：（平行四边形具有的性质都具有） （1）矩形的四个角都是直角。 （2）矩形的对角线相等。
AD （性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=∠BCD＝∠CDA =∠DAB＝90° BC （2）∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD
20、矩形的判定方法：
（1）有一个是直角的平行四边形是矩形。（定义） AD（2）有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 BC
（判定）几何语言：如图所示，
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC= 90° ∴四边形ABCD是矩形
（2）∵∠ABC=∠BCD＝∠CDA＝90° ∴四边形ABCD是矩形
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
21、菱形的性质：（平行四边形具有的性质都具有） （1）菱形的四条边都相等。
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
A（性质）几何语言：如图所示， D（1）∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC＝CD =DA B C（2）∵四边形ABCD是菱形 22、菱形的判定方法： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（定义） （2）四边相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（判定）几何语言：如图所示， A 1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC D（ ∴四边形ABCD是菱形 （2）∵AB=BC＝CD =DA ∴四边形ABCD是菱形 B C（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
123、菱形的面积=对角线（AC、BD）乘积的一半，即S=（AC×BD） 。
224、正方形的性质：（矩形、菱形具有的性质都具有） AD（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
O （2）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，
B每条对角线平分一组对角。 C （性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC＝CD =DA，∠ABC=∠BCD＝∠CDA＝90° （2）∵四边形ABCD是正方形 ∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠ABD=∠CBD＝∠ADB=∠CDB＝ ∠BAC=∠DAC＝∠BCA=∠DCA＝45° 47、正方形的判定：（方法很多，只举三例） AD（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（2）有一个内角是直角的菱形是正方形。 O （3）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。 BC
（判定）几何语言：如图所示，
（1）∵四边形ABCD是矩形， AB=BC ∴四边形ABCD是正方形
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90° ∴四边形ABCD是正方形
（3）∵AC⊥BD，OA=OB=OC=OD ∴四边形ABCD是矩形
25、等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形在同一底上的两个角相等。 （2）等腰梯形的两条对角线相等。 （性质）几何语言：如图所示， （1）∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴∠ABC=∠DCB， ∠DAB＝∠ADC （2）∵四边形ABCD是等腰梯形 26、等腰梯形的判定方法：
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。
（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 。 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（教材中没有）
（判定）几何语言：如图所示，在梯形ABCD中，
（1）∵AB=CD
∴四边形ABCD是等腰梯形
（2）∵∠ABC=∠DCB（或∠DAB＝∠ADC）
∴四边形ABCD是等腰梯形
（3）∵AC=BD
∴四边形ABCD是等腰梯形
27、重心：
线段的重心是它的中点； 三角形的重心是三条中线的交点； 平行四边形的重心是对角线的交点。
ADBCADBC