第十八章 平行四边形
一、地位与作用
同三角形一样，四边形也是最基本的平面图形，是本学段“空间与图形”的主要研究对象．本章将在平行线、三角形的基础上进一步研究一些特殊四边形的知识，探索平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判定方法，并对有关结论进行推理证明，进一步发展学生的逻辑思维能力和推理论证能力，对学生要求较高. 就本学期的教学内容来讲，本章是教学重点和难点之一. 就中考来讲，四边形的知识会以填空题、中档解答题、动手操作题、综合解答题等形式进行考察，2014年只有16题、20题涉及本章知识，分值为约3+4分，2015年只有20题、22题、23题涉及本章知识，分值为约4+4+1分，2016年只有14题、16题涉及本章知识，分值为3+3分，从近几年武汉的中考题看来，本章考试所占分值 还是很重要的. 所以，学好这一章，既是对三角形知识的巩固，又是为后续的几何学习做好充分的知识和能力储备，更是为中考打下坚实的基础。
二、知识结构图 从属关系:
演变关系：
三、课标要求及学习目标
1、【课标要求】
1、“理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系”，这种“关系”是特殊与一般的关系，即图形越来越特殊，它的性质就越来越多，判定它需要的条件也越来
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越多，这对于研究平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定有着重要的作用。这部分知识像链条一样环环紧扣，这条“知识链”不仅蕴涵着“一般和特殊”的思想，而且也是引导学生感悟“分类”思想的好素材。
2、四边形与三角形有着紧密的联系，研究四边形性质常常借助三角形的有关知识。但是四边形与三角形有一个本质的差异：四边形不具有稳定性，三角形是具有稳定性。如果不重视这种差异，就会给理解和掌握相关的知识带来困难。比如，学生常常不能正确掌握正多边形的定义，其原因就是在于边数大于或等于4的多边形不具有稳定性，由各边相等不能推出各个角相等，所以必须定义“各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形”；而三角形具有稳定性，由三边相等可以推出三个角相等，所以只需定义“各边相等的三角形叫做正三角形”。 3、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理。
4、三角形的中位线定理的探索和证明，可以完整地展示“合情推理——提出猜想——演绎推理”的过程，引导学生经历这样的过程，有利于他们体会两种推理功能不同，但相辅相成。
【本章学习目标】
1．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系； 2．探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；
3. 了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离； 4. 探索并证明三角形中位线定理；
5．通过经历平行四边形以及矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；
6．通过平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力；
7．通过分析平行四边形与矩形、菱形、正方形概念之间的联系与区别，使学生进一步认识一般与特殊的关系
四、课时安排建议
本章教学时间约需15课时，具体安排如下：
18.1 平行四边形 7课时 18.2 特殊的平行四边形 6课时 数学活动
小结 2课时 五、全章教学建议
(一) 复习有关知识
1. 多边形的有关概念、内角、外角、对角线等知识 2. 三角形的全等 3. 等腰三角形
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4. 直角三角形
（二）引导学生把学习性质和判定的过程, 变成系统研究这些新课题的过程
这部分的新知识其实在难度上并不大, 学生对这些基本的几何图形和比较熟悉, 一般来说, 学生独立探究它们的性质和判定方法是完全可行的.
1. 探究的方式: 实验 + 推理 2. 引导学生有序地进行探究. 比如:
在探究平行四边形的性质的时候, 可以给学生逐步提出下面的问题: [问题1] “对比三角形的研究方法，平行四边形我们可以研究哪些方面的知识？“平行四边形的定义、性质、判定。。。。。是什么?”
[问题2] “如果要研究平行四边形的有关性质, 你认为可以研究哪些问题?” [问题3] “对于这些问题的答案你有别的意见吗? 你能尝试着证明这些结论吗?” / “请同学们开始研究平行四边形的边的有关性质”
[问题4] “证明这些性质的时候, 用到了什么知识?” / “添加了什么辅助线? 辅助线的作用是什么?”“在研究的过程中你又有什么新的发现?
在探究平行四边形的判定方法时, 可以给学生逐步提出下面的问题: [问题1] “平行四边形的定义、性质已经研究完了，下面该研究什么呢？”/“用什么样的方法开展平行四边形判定的研究?”
[问题2] “那么, 具有哪些性质的四边形一定是平行四边形呢?” / “那么, 对于一个四边形而言, 它的边、角、对角线至少要满足什么条件, 这个四边形才是平行四边形?” / “对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢?”
[问题3] “如果一个四边形的边只满足一个条件, 比如: 一组对边相等, 它一定是平行四边形吗? 如果角只满足一个条件呢?”
[问题4] 根据学生的具体情况, 引导学生逐步建立起类似于下面的 “研究提纲”(为简单起见, 我们只研究对边、对角、邻角、对角线需要满足的条件):
A类研究提纲
?一组对边:平行且相等??分别平行 (a) 边????两组对边?分别相等?一组平行,一组相等???⑴⑵ ⑶⑷ (b) 角??两组邻角:互补?两组对角:分别相等?一组对边平行,一组对角相等?一组对边相等,一组对角相等3
⑸⑹⑺⑻
(c) 边?角?
(d) 对角线: 互相平分
⑼(e) 对角线 + 角: 一组对角相等, 一条对角线平分另一条对角线 ⑽e.1. 一组对角相等, 且连结这组对角顶点的对角线被另一条对角线平分 (10.1)e.2. 一组对角相等, 且连结这组对角顶点的对角线平分另一条对角线 (10.2)(f) 对角线 + 边: ??一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线⑾ ⑿一组对边相等,一条对角线平分另一条对角线?B类研究提纲：1）逆向思维：写出性质定理的逆命题；2）判定定理中条件的组合
[问题5] “满足条件⑴?⑿之一的四边形一定是平行四边形吗? 如果是, 请证明; 如果不是, 请举出反例” (通过 “一题多解” 的形式, 让学生体会到各种判别方法的互相转化)（要根据学生的程度采取适当的探索方案）
[问题6] “根据上面的研究, 你能给出几条判定平行四边形的方法吗?” [问题7] 给出一些基本的应用判定方法的例题.
对于矩形、菱形、正方形等等内容, 我认为都可以采用类似的方式, 使学生学习这些新知识的过程变成系统研究这些新课题的过程. (三) 重视直观操作和逻辑推理的有机结合，重视几何直观
1. 设置一定数量的小综合其他知识、集中使用本节课知识的例题、习题, 适量重复 ??? 尽快熟悉新知识
2. 设置一定数量的能特别体现当堂知识方法优越性的例题、习题 ??? 主动应用新知识
(四) 及时强化、多次重复各种四边形在概念、性质、判定等方面的联系与区别
平行四边形形 一个角是直角 矩形形
正方形
一组邻边相等 菱形
一个角是直角
一组邻边相等
图1
(五) 注意引导学生总结具有典型特征的图形、典型辅助线 1. 连接对角线: 2. 作高:
3. 几种特殊四边形的对角线
① 矩形对角线交角为60?或120?时, 可得等边三角形和含30?角的直角三角形
4
② 菱形有一个角为60?时, 可得含30?角的四个全等直角三角形 ③ 正方形中的四大四小等腰直角三角形 4.中点四边形:
（一）对角线 + 中位线
(1) 顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是_______________ (2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点, 构成的四边形是__________ (3) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是_______ (4) 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是_________ 顺次连结矩形各边中点构成的四边形是_________ 顺次连结菱形各边中点构成的四边形是_________
（二）中点四边形 表一：
原四边形 原四边形对角线数量与位置关系 中点四边形 一般四边形 不确定 平行四边形 图形 表二： 原四边形 中点四边形 对角线既不互相垂直又不相等 平行四边形 图形 对角线相等 菱形 对角线互相垂直 矩形 对角线互相垂直且相等 正方形 平行四边形 不确定 平行四边形 矩形 相等 菱形 菱形 垂直 矩形 正方形 相等且垂直 正方形 等腰梯形 相等 菱形
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