21．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.3B. 2C. 3D.2 提示：CF∥BD，故S阴影= S△BCD=3，选A 22.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 提示：DB∥GE∥FK，故S△GED= S△GBE，S△GEK= S△GEF ∴S阴影= S正方形BEFG=42， 选D
23.（2012台湾）如图所示的方格纸上有一平行四边形ABCD，其顶点均在网格线的交点上，且E点在AD上．小华在方格纸网格线的交点上任取一点F，发现△FBC的面积比△EBC的面积大．判断下列哪一个图形可表示小华所取F点的位置？（ ）
A. B. C. D. 提示：选D．
24.（2012山东滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）求正方形ABCD的面积；
（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．
16
D C G
F R
P K
A
B E
BEAHDl1l2l3l4Ah1h2h3BEHDl1l2l3l4GFC图1
GFC图2
提示：（2）证△ABH ≌△DAF，故S正方形ABCD=AF2+DF2=5； （3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3， 由（2）知，S正方形ABCD=AF2+DF2=2h12+2h1h2+h22．
25. 如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）． （1）求S△DBF；
（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF； （3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，画出图形并直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．
答案：（1）S?DBF?（2）S?DBF?DCDCFGA(1)EBFGEA(2)B1112DF?BA?b(b?2a)?b2?ab 222212b 2121b?ab，最小值为b2?ab 22（3）存在，最大值为
四、折叠问题
26．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角
D A′ A
G
C
17
B
线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（） C A．1 B．
27．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕， ∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1处， 并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（） C A.3B. 2 C. 3 D. 23
28．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ） A
33
A.23 B. 2 C.
3 D.6
4 3C．
3D．2 2
29．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明． （2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．
五、动点问题
30.（2011福建福州）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； （2）如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
18
提示：（1）先证四边形AFCE为平行四边形，再证□AFCE为菱形； 由勾股定理得AF=5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图3.
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， ∵PC=5t，QA=12﹣4t，∴5t=12﹣4t，解得t?图3
4， 34秒． 3∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t?②由题意得，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上． 分三种情况：
i）如图4，当P点在AF上，Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12； ii）如图5，当P点在BF上，Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12； iii）如图6，当P点在AB上，Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12． 综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
图4
图5
图6
六、找规律
31．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ） A．8048个 B．4024个 C．2012个 D．1066个 图①图②图③ 提示：第2012个图形中直角三角形的个数有2012×2=4024个，选B. 32.一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（ ）
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A．3B．4 C．5D．6
提示：断去部分的小菱形的个数是3n+2，故选C
七、综合题
35. 究问题： ⑴方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连结EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE，AF=AF, ∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF． ⑵方法迁移：
如图②，将Rt?ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=
GBFCA132DE图1
1∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． 2⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足?EAF?1?DAB,2试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
BFCEADADEBFC图2
图3
20