（xi）’’=i(i-1)xi-2 由此我们想到了求导的方法。
n1证：对（1＋x）＝Cn0＋Cnx＋Cn2x2＋...＋Cnnxn 两边求二阶导数，得
n－2n（?n－1）（＋?1x）＝21??Cn2＋3?2?Cn3?x＋...＋n（n－1）?Cnn?xn－2
令x=1,得
21 ??Cn2＋3?2?Cn3＋...＋n（n－1）?Cnn＝n（n－1）?2n－2 （n≧2）
技巧：此方法证明组合恒等式的步骤是，先对恒等式
（a＋x）＝ni?0?Canin?1imx 两边对x求一阶或二阶导数，然后适当选取x的
值代入。
4. 利用多项式恒等条件证明（比较系数法）
比较系数法主要利用二项式定理中两边多项式相等的充要条件为同次幂的系数相等加以证明。
021222n2n例6．求证：(Cm （范德蒙恒等)＋(Cm)＋(C)＋...＋(C)＝C＋1m＋2n2n式）
分析：本题若考虑上面所讲和方法来证明是比较困难的，注意到等式左边各项恰是二项展开式中各项二项式系数的平方，考虑二项展开式
n（1＋x）=Cn0＋
n11＝Cn0＋Cn＋Cn2Cnx＋Cn2x2＋...＋Cnnxn 和 （1＋）1x1x1n1＋...＋C 这两个展nx2xn021222n2开式乘积中常数项且好式是 (Cm )＋(Cm＋1)＋(Cm＋2)＋...＋(Cn)n1证：∵（1＋x）＝Cn0＋Cnx＋Cn2x2＋...＋Cnnxn
n1 （1＋）＝Cn0＋Cn＋Cn21x1x1n1 ＋...＋Cnx2xnnn(?1?)∴（1＋x）=（Cn0＋Cn1x＋Cn2x2＋...＋Cnnxn）?
1x（Cn0＋Cn1＋Cn2）
1n(1+x)2n（1＋x）(?1?)＝又有，
xxnn1x1n1＋...＋Cnx2xn比较两边的常数项，左边常数项为
021222n2 (Cm)＋(Cm＋1)＋(Cm＋2)＋...＋(Cn)右边的常数项为C2nn，根据二项展开式中对应项的唯一性，得
021222n2n (Cm)＋(Cm)＋(C)＋...＋(C)＝C＋1m＋2n2n技巧：此方法关键是适当地选择一个已知的恒等式，然后比较两边x同次幂的系数。当然，已知恒等式的选择不是唯一的，例5也可以选
nn2n(?1?x)?(1?x)择已知恒等式 （1＋x） ，只须比较恒等式中两边含有
xn的系数即可得证，证明留给读者。
5. 利用数列求和方法证明
我们回到例2，除了上面得证明方法之外，还有没有其他得证明方
法呢？我
们观察，恒等式左边的各项组合数的系数为的等差数列，现在我们仿照求和公式1?2?...?n?下面证明
证：设s=C12C?23C...?3＋n?Cnn＋n＋nn ①
1 则s=n?Cn?n-12C?2n＋(n-1)Cn...＋n＋Cn n-2n =n?0C＋(n-?11..?.C nn)C＋n＋2Cn ②
n(n?1) 的证明可不可以证明例2呢？请看2 ①＋②得
1n-1n2s=n?C0＋n?C...＋n?C＋n?Cnnnn 1n=n(C0＋Cn-1n＋C...nn＋Cn)
=n?2n
∴ s?n?2n?1
技巧：此方法的证明有一定的特殊性,分析等式中组合数系数的变化规律尤其重要,知识的迁移在此方法是一个很好的见证。
6. 利用数学归纳法证明
我们都知道数学归纳法，在证明数列的题目中，我们就体会了数学归纳法的好处，只要按照数学归纳法的两个步骤进行就可以了。那么，组合恒等式的证明可不可以用数学归纳法来证明呢？看下面的一个例题
例7．已知{an}是任意的等差数列，且n≧2，求证：
1n-1n-1nnCn0a1－Cna2＋Cn2a3－...＋（－1）Cnan+（－1）Cnan+1＝0
分析：由于本题恒等式左边的各项组合数系数是一个不确定的等差数列，用上面的方法处理就比较困难，又因为等式含有数列，我们不妨用数学归纳法试试。
证：i) 当n＝2时，因为a2?a1?a3?a2所以
a1?2a2?a3?0，故等式成立，
ii) 假设，当n＝k（k≧2）时等式成立，即对任何等差数列{an}，
1k-1k-1kk有，Ck0a1－Cka2＋Ck2a3－...＋（－1）Ckak+（－1）Ckak+1＝0 ①
则当n＝k＋1时，利用组合数性质，有
12kkk＋1k＋1Ck0＋1a1－CkCk＋1ak＋1+（－1）Ck＋1ak+2＋1a2＋Ck＋1a3－...＋（－1）121＝Ck0a1－（Ck＋Ck0）a＋（C＋C2kk）a－3...kk＋1k ＋（－1）（Ckk＋Ckk－1）ak＋1+（－1）Cka12k＝[Ck0a1－Cka＋（－1）Ckka2Cka-...+3012k+2
＋k1]k－1＋k1 －[Cka2－Cka＋（－1）Cka3Cka-...+4k－1+（－1）Ckak＋2]kk
因为根据归纳假设，当n＝k时，对任意等差数列
a1，a2，...，ak＋1与a2，a3，ak＋2①式都成立，所以上式右端的两
个方括号都等于零。于是我们证明了当n＝k＋1时等式也成立，根据（1）和（2）可知，等式对n≧2的任何自然数都成立。
技巧：用本方法证明的思路清晰，只须分两步进行即可，但归纳法的关键是由“假设n＝k成立，推导到n＝k＋1也成立”这一步中间的
变换过程比较复杂，在“无路可走”的情况之下，归纳法也是一个好的选择。
7. 利用组合分析方法证明
所谓组合分析法就是通过构造具体的组合计数模型，采用了“算两次”的方法，再根据组合数的加法原理和乘法原理得到恒等式两边相等。
112－1例8．证明：Cn0Cn （n≧2） ＋CnCn＋...＋Cnn－1Cnn＝C2nn证：算右边，假设有2n个球，现要在2n个球中任取出（n－
1）个，取法有 C2nn－1 种，
算左边，把2n个球分成两堆，每堆个n个，现要 在2n
个球在中取出（n－1）个，取法是，在第一堆取0个，第二堆取（n－1）个，或第一堆取1个，第二堆 取（n－2）个，或…或第一堆取（n－1）个，第二堆 取0.再根据加法原理总的取法有
1n－2Cn0Cnn－1＋CnCn＋...＋Cnn－1Cn0
1n－2112又因为Cn0Cnn－1＋CnCn＋...＋Cnn－1Cn0＝Cn0Cn＋CnCn＋...＋Cnn－1Cnn
所以，左右两边都是在2n个球中取出（n－1）个球，因此有，
112－1 （n≧2） Cn0Cn＋CnCn＋...＋Cnn－1Cnn＝C2nn技巧：用组合分析法证明组合恒等式的步骤是：选指出式子的一边