2009年清华大学自主招生数学试题（理科）
1．设5?1的整数部分为a，小数部分为b 5?1ab；?3?求lim?b?b2???bn?
n??2?1?求a,b；?2?求a2?b2?
2．?1?x,y为实数，且x?y?1，求证：对于任意正整数n，x2n?y2n?122n?1
abca,b,c???3，其中x,y,z为a,b,c的一种排列 为正实数，求证：2??xyz
3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论
x2y24．已知椭圆2?2?1，过椭圆左顶点A??a,0?的直线L与椭圆交于Q，与y轴
ab交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P 求证：AQ，2OP，AR成等比数列
5．已知sint?cost?1，设s?cost?isint，求f(s)?1?s?s2???sn
6．随机挑选一个三位数I
?1?求I含有因子5的概率；?2?求I中恰有两个数码相等的概率
7．四面体ABCD中，AB?CD，AC?BD，AD?BC
?1?求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；
?2?设三个面与底面BCD所成的角分别为?,?,?，求证：cos??cos??cos??1
8．证明当p,q均为奇数时，曲线y?x2?2px?2q与x轴的交点横坐标为无理数
9．设a1,a2,??,a2n?1均为整数，性质P为： 对a1,a2,??,a2n?1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等 求证：a1,a2,??,a2n?1全部相等当且仅当a1,a2,??,a2n?1具有性质P