（2）设AE,BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为
y轴，过点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
?335?1??3,0,0,F?0,?,3?,M?,?,3 ???24???4?????????????????351?BA??3,?1,0,BM???,?,3,BF??3,?,3??? ?4?42???????设平面ABM,ABF的法向量为m,n， ??????????????????01??m?BA?0?n?BAm?1,?3,?1，则， ，则n?1,?3,????????????????
2?????m?BM?0?n?BF?0??????m?n785785∴cos?m,n??????，∴二面角M?AB?F的余弦值.…………………………12分
8585m?nA?0,?1,0?,B??????2y0?q220. 解：（1）设M?p,q?,N??p,?q?,T?x0,y0?，则k1?k2?2， 2x0?p?p2q2??1222?x0?p2y0?q23y0?q23?1612kk????0两式相减得即，.………………4分 ???21222241612x?p4又?x0y0，0??1??161211（2）设直线MN与x轴相交于点R?r,0?,S?MNL?r?3?yM?yN，S?M1N1L??5?yM1?yN1，
22由于S?M1N1L?5S?MNL且yM1?yN1?yM?yN，得
11?5?yM1?yN1?5?r?3?yM?yN,则r?2或r?4（舍去）. 22即直线MN经过点F?2,0?.设M?x1,y1?,N?x2,y2?,K?x0,y0?，
① 直线MN垂直于x轴时，弦MN中点为F?2,0?；
② 直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y?k?x?2?，则
?x2y2?1????3?4k2?x2?16k2x?16k2?48?0. ?1612?y?k?x?2??16k216k2?488k2?6k,xx?x?,y?则有x1?x2?，∴. 120022223?4k3?4k3?4k3?4k24y02?1?y0?0?. 消去k，整理得?x0?1??34y22?1?x?0?.……………………………………………12分 综上所述，点K的轨迹方程为?x?1??3m?x?1??1m1??,?x??1? 21. 解：（1）F??x??f??x??g??x??22x?1?x?1??x?1?当m?0时， F??x??0，函数F?x?在??1,???上单调递减；
11??，函数F?x?在??1,?1??上单调递减； mm??11??F??x??0?x??1?，函数F?x?在??1?,???上单调递增，
mm??综上所述，当m?0时，F?x?的单减区间是??1,???；
当m?0时，令F??x??0?x??1?11???，单增区间是?1?,???………………………4分 ??mm???m（2）函数f?x??mln?x?1?在点?a,mln?a?1??处的切线方程为y?mln?a?1???x?a?，
a?1mmax?mln?a?1??即y?， a?1a?11?1x1???y?1??x?b?， 函数g?x??在点?b,1?处的切线方程为???2?b?1x?1b?1????b?1??当m?0时，F?x?的单减区间是??1,?1???即y?12?b?1??b?1?y?f?x?与y?g?x?的图象有且仅有一条公切线.
x?b22.
m1??①2?a?1?b?1??所以? 2mab?mln?a?1???②2?a?1?b?1??有唯一一对?a,b?满足这个方程组，且m?0.
由（1）得： a?1?m?b?1?代入（2）消去a，整理得：
22mln?b?1??2?mlnm?m?1?0，关于b?b??1?的方程有唯一解. b?1令g?b??2mln?b?1??2?2m22?m?b?1??1??
?mlnm?m?1，g??b????2b?1b?1?b?1?2?b?1?方程组有解时，m?0，所以g?b?在??1,?1?所以g?b?min?9??1???1????m?mlnm?1， m??因为b???,g?b????,b??1,g?b????，
11???单调递减，在?1?,?????单调递增，
mm???
只需m?mlnm?1?0，令??m??m?lnm?1、
???m???lnm在m?0为单减函数，
且m?1时，
???m??0，即??m?max???1??0，
2?mlnm?m?1?0有唯一解 b?1所以m?1时，关于b的方程2mln?b?1??此时a?b?0，公切线方程为y?x.……………………………………………………………………12分
?x?a?cos???x?a?acos??a22. 解：（1）由?可得?，
y?y?asin???sin???a两式平方后相加即得(x?a)2?y2?a2(a?0)， ∴曲线C是以?a,0?为圆心，以a为半径的圆；
直线l的直角坐标方程为x?3y?3?0．
由直线l与圆C只有一个公共点，即直线l与圆C相切，则可得
a?3?a， 2解得： a??3（舍），a?1．
所以：a?1………………………………………………………………………………………………5分 （2）因为曲线C是以?a,0?为圆心，以a为半径的圆，且?AOB?由正弦定理得：
?3
ABsin??2a，所以AB?3a．
32222由余弦定理得AB?3a?OA?OB?OA?OB?OA?OB，
1?1333a22所以S?OAB?OA?OBsin??3a?， ?2322433a2所以?OAB的面积最大值．…………………………………………………………………10分
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1?x?2,x???2?1?23. 解：（1）f?x????3x,??x?1
2???x?2,x?1??（如果没有此步骤，需要图中标示出x??1,x?1 2对应的关键点，否则扣分）
画出图象如图所示, ………………………………………………………………………………………5分 （2）由（1）知m?∵
3． 23?m?a2?2c2?3b2??a2?b2??2?c2?b2??2ab?4bc， 233∴ab?2bc?，∴ab?2bc的最大值为，
441当且仅当a?b?c?时，等号成立． ……………………………………………………………10分
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