例3：某养殖产有固定成本10000元，一年最多能养400 只羊，已知每养一只
羊成本增加100元，且总收益养羊数q问一年养多少只羊总利润最大，最大值是多少？
解 由
C(q)?10000?100q,
1L(q)?R(q)?C(q)??q2?300q?10000,q?[0,400]2得
由L?(q)??q?300?0
得q?300
又L??(q)??1?0,L(300)?25000故为极大值，从而为年最大利润。
3 计量经济学中的生产函数模
生产函数是描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同它可能生产的最大量之间的函数关系
3.1常用的生产函数模型
柯布-道格拉斯生产函数是1928年建立的。 柯布-道格拉斯生产函数的形式为：
y?al?k?(??0,??0)
一般假设0???1,0???1。C-D函数虽然年代久远，但它的许多特性仍在现代
的生产函数中所体现，现代的生产函数是对C-D函数的改进和发展。
所以
LKKL?YL???A?L??1K???? ?KALK?YK????A?L?K??1?? ?KALKC-D生产函数中的参数?为产出的劳动弹性，?为产出的资本弹性，即当K不
L变时，?Y?Y亦保持不变。
?L?KC-D生产函数的劳动边际生产率为：
?YY?A?L??1K??? ?LLC-D生产函数的资本边际生产率为：
5
?YY?A?L?K??1?? ?KK资本对于劳动的边际替代率：
R??Y?L?YY???KL?KY?? K?L替代弹性
KKKK)dlin()dlin()dlin()L?L?LL?1???dlin(R)dlin(?K)dlin(?)?dlin(K)dlin(K)?L?LL
dlin(
此式说明柯布-道格拉斯生产函数的要素替代弹性1，即劳动与资本之间存在着始终不变的且等于1的替代弹性。
此外，C-D函数是???次齐次函数，这是由于f(L,K)?AK?L?，所以
??f(?L,?K)?A(?L)?(?K)??????ALK?????f(L,K)
由前面对生产模型的讨论可知：当????1时，是规模报酬递增的；当????1时，是规模报酬递减的；当????1，是规模报酬不变的。
3.2 不变代替弹性生产函数模型，CES模型
CES模型的基本形式为
Y?A[?L???(1??)K??]?1?
其中A是规模参数，含有广义技术进步因素A>0; ?是分布参数，0???1；?是替代参数???1。，CES模型的替代弹性是常数。
1??1?Y??1?YA???????1??() ??[?L?(1??)K]?(???L)?L?L?A(Y??A?[?L???(1??)K??]?1)
??11??Y??1?YA???????1??() ??[?L?(1??)K]?(?(1??)?K) ?K?K?A1R??Y?L?K??1?Y?() ?K1??L 6
所以替代弹性
KKdin()din()L?L???KdinRd[ln?(??1)ln()]1??LK)1L?? K?(??1)ln()Ldin(?是一个常数，由于??0，因此?1?????，在CES模型中，如果??0，则??1此时CES模型退化成C-D模型。
?3.3生产模型案例：
已知天津市独立核算工业企业净产值，职工人数L，固定资产净值K1，流动资产年平均余额K2，样本统计材料见下表，建立生产模型 年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989
Q 62.66 63.04 65.12 71.43 88.91 93.96 102.59 116.84 124.18
L 132.2 138.89 134.32 142.41 143.1 160.43 174.94 191.71 213.77
K 123.8 130.23 139.58 163.14 186 212.9 239.98 275.14 319.01
K1 74.77 77.87 84.64 101.72 119.09 132.18 150.86 174.58 195.3
K2 49.03 52.36 54.94 61.42 66.91 80.72 89.12 100.56 123.71
7
1990 1991 1992
129.54 136.12 153.61
208.15 151.08 160.32
366 426.75 489.65
217.77 252.86 281.66
148.83 173.89 207.99
设生产计量模型为Q?AL?K?eU，其中U为随机误差项，未来估计模型，两边取对数，得
LNQ?lnA??lnL??lnK?u
令Y?lnQ,lnA?a,lnL?X1,lnK?X2,得一般线性计量模型
LNQ?a??X1??lX2?u
采用OLS方法进行估计，得估计模型
Y??0.02?0.24X1?0.62X2 (?0.05)(2.23)(16.38)
R?0.98 R?0.98 F?284.0
2??2由于a的t统计量的值太小，去掉常数项得
Y?0.23X1?0.62X2 (6.42) (18.41)
R?0.98 R?0.98
2??2所以天津市独立核算工业生产函数为
Q?L0.23KO.62
?说明当时的生产模型中代表技术技术进步因素的参数A?1，所以要提高生产率应加强技术改造，????0.23?0.62?0,85?1属于规模递减性。不应再盲目扩大生产规模，应调整产业和产品结构，提高生产中的技术进步因素。 用此模型做出预测，如下：
?? 8
??年份 Q Q 年份 Q Q 100.32 111.57 125.46 135.94 138.81 153.13 1981 1982 1983 1984 1985 1986 62.66 63.04 65.12 71.43 88.91 93.96 62.29 65.03 67.36 74.95 81.72 91.27 1987 1988 1989 1990 1991 1992 102.59 116.84 124.18 129.54 136.21 153.61
4 生产者选择 建立模型
作为一个生产者或供应商，在市场经济中如何根据产品的成本和产值决定他们的投入。又怎样按照商品的销售状况确定价格。“生产者追求最大利润”是经济学的一条最优化原理，下面根据这条原理，用数学建模的方法帮助生产者和供应商作出决策。
4.1最大利润模型
众所周知生产者的利润等于产品的产值减去成本，当然这里假定产品都能销售出去变成收入。记生产者对产品的投入量为x，产值和成本都是x的函数，分别记作f(x)和c(x)，则利润r(x)为
r(x)?f(x)?c(x)
是利润达到最大的投入量x?可以从r'(x?)?0得到由上式既有
f'(x?)?c'(x?)
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