按经济学中把“导数”称作“边际”的习惯，f'(x)称为边际产值，
c'(x)称为边际成本，分别是投入量x变化一个单位时产值和成本的该变量，最佳
投入量x?由f'(x?)?c'(x?)，它表明：最大利润在边际产值等于边际成本是达到。这是经济学中一著名定律。
4.2最优定价模型
在产品可以全部销售的情况下，产品的投入x就是商品的销售量，产值f(x)就是收入，可以一般的假定收入等于销售量乘以价格p，即f(x)?px。可对成本函数c(x)，除去投产初期及成产饱和阶段成本与投入量的关系比较复杂外，在正常生产时期可以简化的假设成本与投入量成正比，即c(x)?cx，等式右边的参数c是边际成本，实际上就是单位成本。下面讨论如果对投入量没有限制，怎样根据成本和销售情况确定商品的价格，使利润最大
在市场经济中除了少数生活必需品外，大多数商品的销售量和价格直接相关，价格p越高，销量x越小，简化的假设二者呈线性关系
x?a?bp,a,b?0 将f(x)?px,c(x)?cx,及x?a?bp,a,b?0代入r(x)?f(x)?c(x)式 ，得
r(x)?(p?c)(a?bp)
当,a,b,c给定后，容易求出使利润r达到最大的定价p?为
p??未来分析p??ca? 22bca?的意义，需要高差参数a,b.在x?a?bp,a,b?0中a可理解22b为这种商品免费供应时(p?0)的社会需求，称“绝对需求量”，b??dx，表示这dp种商品价格上涨一个单位时销售量下降的幅度，称“市场弹性系数”，反映需求对价格的敏感程度.p??ca?式表明最优定价由两部分组成，一部分是单位成本c22b的一半，另一部分与绝对需求量a成正比，与市场弹性系数b成反比，在定性上这是与常识相符的，至于a,b的具体大小，可以由价格p和销售量x的统计数据，
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用最小二乘法对x?a?bp,a,b?0式拟合得到。
4.3.投资费用一定下的产值最大模型
这个模型讨论生产两种产品的情况，斌可以推广到生产任意多种产品. 设生产者生产甲乙两种产品，其投入量分别为x1,x2，单位成本分别为c1,c2，投资费用为s，得到产值记为f(x,x)，称为产值函数，则最大利润模型可转化
12为在投资费用一定条件
c1x1?c2x2?s
下求投入量x1,x2，使产值f(x1,x2)达到最大.
5 期望在经济决策中的应用 5.1期望的定义
定义，设离散随机变量x的分布列为
p(xi)?p(X?xi),i?1,2,???n,???.
如果
?xi?1?ip(xi)??,
则称
E(X)??xip(xi)
i?1?为随机变量X的数学期望，或者称该分布的数学期望，简称期望或者均值.若级数?xip(xi),不收敛，则称X的数学期望不存在.
i?1?例5.1.1：每张福利彩票售价5元，各有一个兑奖号，每售出100万张设一个开奖组，用摇奖器当中要出一个六位数的中奖号码{可以认为从000 000到999 999
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的每个数都等可能出现），兑奖规则如下：
（1）兑奖号与中奖号码的最后一位相同者获得六等奖，奖金10元. （2）兑奖号与中奖号码的最后二位相同者获得五等奖，奖金50元. （3）兑奖号与中奖号码的最后三位相同者获得四等奖，奖金500元. （4）兑奖号与中奖号码的最后四位相同者获得三等奖，奖金5 000元. （5）兑奖号与中奖号码的最后五位相同者获得二等奖，奖金50 000元. （6）兑奖号与中奖号码全部相同者获得一等奖，奖金500 000元. 另外规定，只领取其中最高额的奖金，求每张彩票的平均所得奖金额。 解 以X记每一张彩票的奖金额，则X的分布如下；
X P 500000 50000 0.000001 0.000009 5000 0.00009 500 0.0009 50 0.009 10 0.09 0 0.9
所以每张彩票的平均所得为
E(X)?0.5?0.45?0.45?0.45?0.45?0.9?0?3.2
这也意味：每一开奖组把筹得的500万元中的320万元已将近的形式返回给彩民；其余的180万元则可用于福利事业及管理费用。
从这个例子也可以看出，彩票中奖与否是随机的，但，一中彩票的平均所得是可以预先算得的，计算平均所得是设计一种彩票的基础，在我国彩票发行由民政部门管理，只有当收益主要用于公益事业才被允许发行彩票，发行任一中彩票事先都要进行周密设计。
例5.1.2 某公司经销某种材料，根据历史资料表明：这种原料市场需求量X（单位：吨）服从（300,500，）上的均匀分布，每售出1吨一顿该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，则公司损失0.5（千元）.问公司应该组织多少货源，可是平均收益最大？
解 设公司阻止该货源a吨，则显然有300?a?500。又Y为a吨货源的条件下
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的收益额（单位：千元），则收益额Y为需求量X的函数，即Y?g(X)，有题设可知：当X?a时，则此a吨货源全部售出，其获利1.5a，当X?a时，则售出X吨（获利1.5X），且还有a?X吨积压（获利?0.5(a?X)），所以获利
1.5X?0.5(a?X)，由此知
?1.5a,若X?ag(X)? ?1.5X?0.5(a?X),若X?a?
?1.5a,若X?a? ? 2X?0.5a,若X?a?由定力和均衡分布可得
E(Y)??????g(x)pX(x)dx ??g(x)3005001dx 200500a1(?1.5adx??(2x?0.5a)dx)
300200a ?1(?a2?900a?3002). 200上述计算表明E(Y)是a二次函数,用通常求极值的方法可以求得:当a?450吨时，能使E(Y)达到最大，则公司组织货源450吨。
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6 总结
从以上数学在经济学上的应用可以看出：经济学融入数学元素，用数学语言解释经济学能让经济语言更加让人深刻，用数学方法论证经济理论能让经济理论更加坚实让经济学更能被大众认知。数学给经济学提供坚实的后盾，可以说没有数学的经济学不可能持续的发展下去。
致谢
在此次论文的准备和写作过程中，一直得到李巧萍老师的细心指导与热情帮助。李老师仔细批改了我的论文提纲，为我的写作提出很多宝贵意见，认真审阅了我的初稿，并在其中作了详细修改。李老师的热情帮助才使我能够顺利的完成这篇论文。在此我对李老师表示衷心的感谢！希望老师身体健康，工作顺利。
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