高等数学A（二）期末复习题
一、填空题
rrrr1、设a=(1,2,-1),b=(2,3,1)，则a?b . 2、过点??1,4,3?且与直线x?3?222yz?1平行的直线方程为 。 ?2?53、方程x?4y?az?b，当a?0，b?2；a??4，b??2；a?0，b?0时依次表示的曲面是 ， ， 。
ì?z=x2+y2?4、曲线í在xoy面内的投影曲线的方程是 。 22?z=1-2x-y??225、设u?x?xy?y，P0?1,1?，gradu?P0?? , du= 。 26、设xsiny?ylnz?3, 则?z? ，?z? 。
?y?x7、交换积分次序 8、蝌dx01x-xf(x,y)dy= 。
x2?y2?1??1?x2?y2dxdy? 。
9、设D是xoy平面内的一块密度为??x,y?的薄板，质量M= 。 10、
??eLx22 其中L为沿上半圆周x?y?2ax?a?0?siny?mydx?excosydy? ，?从点A?2a,0?到点O?0,0?的一段弧。 二、选择题
y?4z1、直线x?3??与平面4x?2y?2z?3的关系是（ ）
?2?73（A）平行，但直线不在平面上 （B）直线在平面上 （C）垂直相交 （D）相交但不垂直 2、下列曲面中是旋转抛物面的是（ ） （A）x?y?4z?0
22222
（B）x?y?4z?0 （D）2x?y?4z?0
22222（C）2x?y?4z?0
3、u?f?xyz?，f可微，则?u?（ ）
?x（A）
dfdf （B）f??xyz? （C）yzf??xyz? （D）yz dxdx24、设u?2xy?z，u在点?2,?1,1?处的方向导数的最大值为（ ）
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（A）26 （B）4 （C）gradu?2,?1,1? （D）6 5、设D:x?y?4，f在D上连续，则
22??f?Dx2?y2dxdy?（ ）
?（A）2??f???d? （B）4??f???d? （C）2??20?20???20f?2d? （D）4???f???d?
016、用格林公式计算（A）?其中c:沿圆x???xy?dx?xydy，
22c2?y2?R2逆时针方向绕一周，则得（ ）
?2?0d??2R04?R （B）??0dxdy?0 ?d???2D3432?R2?R（C）??(x?y)dxdy? （D）???d?d??
DD2327、若级数
?an?x?2?在x??2处收敛，则此级数在x?5处（ ）
nn?0?（A）必发散 （B）必条件收敛 （C）必绝对收敛 （D）敛散性不能确定
第八章：向量代数与空间解析几何
y?1z1、求过点A（0，1，2）且与直线L：x?1??垂直相交的直线方程。 1?12???????a?2i?j?2k2、求与平行，且满足ax??18的向量x。
??????（1，1，0），b?（0，1，?2）（a，b）3、已知a?，求：（1）cos；（2）以a，b为邻边的平行四边形
????的面积；（3）Prjb；（4）同时垂直于向量a、b的单位向量；（5）求a的方向余弦。
?ay?3z?45、求直线x?2?与平面2x?y?z?6?0的夹角。 ?1126、将直线??4x?y?4?0y?2化为对称式方程，并求其与x??z的夹角。
2?2?1?y?4z?12?07、求平行与平面2x?y?2z?5?0，且与三坐标平面构成四面体体积为1的平面方程。 8、求过直线l：?2x?y?0?222，且切于球面x?y?z?4的平面方程。
?4x?2y?3z?6?0?x?2?t?9、求过点，且与平面2x?3y?z?5?0平行，与直线?y??3?t垂直的直线方程。 （1，?2，4）?z?3?2t?10、设有直线L：?
?x?y?z?1?0，平面?：x?y?z?0，求：
?x?y?z?1?0第2页
（1）过L且垂直于平面?的平面方程；（2）L在?的上的投影直线方程。 11、求抛物线y?2pz（p?0）绕z轴旋转而成的旋转曲面方程。
2??z?4?x2?y212、求曲线?在xoy面上的投影柱面，投影曲线方程，及其投影区域。
223x?y）??z?（??（4，?2，4）13、点A（?2，求点B，使AB与a?同向平行，与向量b?等长，并3，0），（4，?4，7）?。 求eAB?第九章：多元函数微分法及应用
1、求旋转抛物面z?2(x?y)?1在点（2，1，9）点的切平面方程及法线方程。
2?z。 ?z2、设f的二阶偏导数连续，且z?f(x?y,2x)，求、?x?x2223、求曲面z?xy上平行于平面x?3y?z?9?0的切平面方程。
4、将周长为2p的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大。
?2f?f5、设z?f(2x?3y,3x?y)，且f具有二阶连续偏导数，求、。
?x?y?x6、设z?ln(x?7、u?(x?yz)2x?yy)，证明x?z?y?z?1。
?x?y2，求ux、uz。
z8、u?arctan(x?y)，求du(1,0,0)。 9、z?f(x,2x?3y,tany)，求?z、?z。
2?x?y2??z10、设z?z(x,y)由方程2xz?2xyz?ln(xyz)?0所确定，求，z。 ?x?x211、求曲面x?2y?3z?12上平行于平面x?4y?3z?0的切平面方程与法线方程。
222?x?teudu?0??12、求曲线?y?1在t?1点的切线方程与法平面方程。
?z?t?1??13、设z?x?y ，求（1）在(1,2)点的梯度；（2）在(1,2)点沿(1,2)点指向(2,2?3)的方向导数。
22第3页
14、求函数z?3xy?y?3x?3y?12的极大值与极小值。 15、求函数z?2x?y在条件x?4y?17限制下的最大与最小值。 16、求原点到曲面(x?y)?z?1的最短距离。
22222322第十章：二重积分与三重积分
1、将积分2、将积分
??a0dx?a2?x202ax?x20xyx2?y2dy化为极坐标下的二次积分，并计算其值。 (x2?y2)dy化为极坐标下的二次积分，并计算其值。
2a0dx?3、计算二重积分
??Dedxdy，D由y2?x,x?0,y?1所围。
4、计算二重积分5、求锥面z?siny??Dydxdy，其中D是由直线y?x，x?0，y??围成。
x2?y2被柱面x2?y2?1所截下部分曲面的面积。
22126、求曲面z?(x?y)被平面z?2截下的有限部分的面积。
7、交换积分顺序8、交换积分顺序
??1010dx?3xxxf(x,y)dy。
22?x01dx?f(x,y)dy??dx?0222f(x,y)dy。
9、求平面图形D:x?y?a(y?0)的形心坐标。
10、设物体由曲面z?1?x?y与平面z?0围成，其在点(x,y,z)处的密度是原点到该点距离的平方，求这物体的质量与重心坐标。
11、计算三重积分12、计算三重积分13、计算三重积分14、计算三重积分15、计算三重积分成。
16、计算三重积分
22?????????????(x2?y2)dv，其中?是由曲面z?x2?y2与平面z?1围成。 x2?y2dv，其中?是由曲面z?a2?x2?y2与平面z?0围成。 (x?y?z)dv，其中?是由平面x?y?z?1与三个坐标面围成。 xyzdv，其中?是由平面x??a,y??a,z??a围成。
???????(x2?y2?z2)dv，其中?是由曲面z?x2?y2与z?2?x2?y2围
????zdv，其中?是由球面z?a2?x2?y2与平面z?0围成。
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17、计算
????(x?y?z)dv，其中?由z?h（h?0）与x2?y2?z2所围成。
第十一章：曲线积分与曲面积分
1、计算段有向弧
2、计算
?L(1?2xy?y2)dx?(x?y)2dy，其中L是x2?y2?2x上从（0，0）到（2，0）的一
???x3dydz?2xz2dzdx?3y2zdxdy，其中?为抛物面z?1?x2?y2被平面z?0所截
(2,?)(1,0)下的部分的下侧
3、验证积分
?(y?excosy)dx?(x?exsiny)dy与路径无关，并计算其值。
?4、计算曲面积分
??zdxdy，其中?为球面x2?y2?z2?R2的外侧。
25、计算xds，其中L为直线y?x与抛物线y?x所围成区域的整个边界。
L?6、计算段。
ttt1x?ecost,y?esint,z?e其中为曲线上相应于t从0到2?的一ds,?22??x?y?z27、计算
2222其中为曲面及平面z?1所围成的立体的表面。 (x?y?z)dS,z?x?y????????????8、求下列向量场的散度（1）A?xyi?yzj?xzk,(2)A?xi?xyj?xyzk
9、计算
?Lydx?sinxdy,其中L为y?sinx(0?x??)与x轴所围成的闭曲线，依顺时针方向。
?10、计算
?xdx?ydy?zdz,其中?为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段。
43224x2y211、计算?(x?4xy)dx?(6xy?5y)dy,其中L是从点A(a,0)沿椭圆2?2?1在第一
Lab象限内部分到点B(0,b)的一段弧。
x2y212、算?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L为依逆时针方向饶椭圆2?2?1一周的路径。
Lab13、计算
?L(eysinx?mx)dy?(eycosx?my)dx，其中L为沿着圆x2?y2?2ax 的上半圆的
xzdydz，其中?是上半球面z?R2?x2?y2的上侧。
ez22dxdy，其中是由锥面被平面z?1及z?2所截下部分的z?x?y?22x?y第5页
右端点到左端点的一段弧。
14、计算15、计算
??????外侧。
16、计算17、计算
???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy，其中?为球面x2?y2?z2?R2的内侧。
xdydz?ydzdx?(z2?2z)dxdy，其中?为旋转抛物面z?x2?y2被平面z?4所
???截下部分的外侧。
第十二章：无穷级数
1、判别级数
???1?n?1??n?1sin1是否收敛，如收敛，是条件收敛还是绝对收敛。
n2、判别级数
?(?1)n?1nln(1?12)是否收敛，如果收敛，是条件收敛，还是绝对收敛。
n3、将函数f(x)?1展开成x的幂级数，并指出其收敛区间。 x?32?x展开成x的幂级数，并指出其收敛区间。
4、将函数f(x)?ln5、将函数f(x)?1展开成x?1的幂级数，并指出其收敛区间。 x?26、将函数f(x)?ln(x?1)展开成x的幂级数，并指出其收敛区间。
(x?1)n7、求幂级数?的收敛区间及和函数。 nn?3n?1?8、求幂级数
?2n?1n?1???1?n?1x2n?1的收敛区间及和函数。
n9、判断下列级数的敛散性：
2n?100n （2）(?1) （1）??n4?1n?1nnn?0???（3）?1sin1
nn?1n??
(n!)2（4）?
(2n)!n?1??n?(?1)n! （5）? （6）?nnn2n?1n?0n?
??（7）?ln?1?12?
?n?n?1?（8）
sinn? ?1n2n?1?10、求幂级数的收敛半径：
nn2nnn?122x （2）?nx （3）?n?1xn （1）?n?13?2n?14n?1n??
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