第七章 结构位移计算
到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。我们知道内力计算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。
讲第一章时，结力的第二大任务：刚度问题，而要解决…，首先应该…
刚度校核
杆件结构位移计算 →
截面设计
（结构变形+刚度位移）
确定Pmax
又是超静定结构计算的基础（双重作用）。另外本章主要讨论各种杆件结构的位移
{
计算问题。
结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。
§7-1概述
一、
截面C线位移：?C 角位移：?C
结点的线位移： 两点（截面）相对线位移： 杆件的角位移： ?AB 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：
1、位移定义：由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移），使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。
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结构的位移
画图：梁、刚架、桁架 （内力N、Q、M——拉伸、剪切、弯曲）
截面C线位移：?C。一般 分解成水平、垂直两方向：?CV ?CH、 角位移：?C
2、位移的分类：6种
绝对位移：点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移：
相对位移：两点（截面）相对线位移——沿连线方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移： 统称为：
广义位移：角、线位移；相对、绝对位移
Δki：k：产生位移的方向；i：引起位移原因。如ΔAP、Δat、ΔAC 广义力：集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合
二、引起位移的原因
1、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移）
2、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力非0应变→结构变形
（材料胀缩引起的位移性质同）
3、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置发生变化)
刚体位移 （制造误差同） 变形位移
{
三、计算位移的目的
1）刚度验算：最大挠度的限制
（框架结构弹性层间位移限值1/450） 2）为超静定结构的弹性分析打下基础
3）预先知道变形后的位置，以便作出一定的施工措施：
（起重机吊梁、板）（屋架安装）（建筑起拱）（屋窗、门、过梁）（结构要求高，精密） 四、计算位移的有关假定 （简化计算） 1）弹性假设 2）小变形假设
建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系 3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦）
变
形体系
线性变形体系（线弹性体系）
荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消
失，无残余变形，（可用位移叠加原理） 非线形变形体系
（分段线形叠加）
{
4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）
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§7-2 变形体系的虚功原理
一、 位移
实位移：外因作用下结构实际位移
虚位移：根据解题需要，虚设位移状态 （满足变形协调＋边界条件） 统称为：广义位移
二、
功：
常力的功： T＝P×Δ＝P×D×cosa （大小、方向、作用点不变） 变力的功：Ｔ＝?sdT＝?sP×cos（P，ds）×ds
力偶所做的功：
功两要素：力与位移P：广义力（力、力偶、相对力、相对力偶）
Δ：和广义力相对应的广义位移（线、角、相对线、相对角）
注意：在定义功T时，没有说位移Δ是由力P引起的，可能由P或其它原因，但P力照样作功。
例：简支梁，两个集中力，分别作用，先后作用。
P1 Δ21 Δ11 功。
引出功的形式有两种：
实功：力与位移相关。 力在其本身引起的位移上所做的功。积分得：T=P×相对位移/2，恒正
虚功：力与位移无关。 力在由其它原因（别的力、温度变化……）引起的位移上所做的功，T’＝力×位移
注：①力：广义力；位移：广义位移
②虚功并非不存在之意，力和位移是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，只强调作功的力与位移彼此独立无关：做功的位移不是由力引起的，而是由其它因素（其它力、其它外因）引起的
③作虚功的位移，并不限于荷载引起的，也可以由其它原因引起的。 ④实功恒为正，虚功可正可负
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力所做的功：该力大小乘以力方向上的相应位移
1 2
1 Δ12
P2 2 Δ22
P1 1 Δ11 Δ12 P2 2 Δ21 Δ22 实功：W1=1/2P1Δ11 实功：W2=1/2P2Δ22 虚功：W=P1Δ12
可以看出：不论位移是否由内力引起，只要在力的作用方向上有位移，该力就对位移作
⑤两种功计算方法不同
本章讨论虚功原理，目的是为了研究结构的实际状态： 1）未知力：虚位移 2）求位移：虚力
所以作虚功时，力状态和位移状态是彼此无关的，其中任一可以虚设，但并不是随便假设。
所以对于虚功，应该强调两点：
1）假设的这种虚位移（或虚力）和所研究的实际力系（或实际位移）完全无关，可以独立地按照我们的目的而虚设；
2）假设的虚位移（或虚力）在所研究的结构上应该是可能存在的位移（或力）状态；
也就是：位移状态：应该满足结构的变形协调条件，边界条件
力状态：应该满足结构的平衡条件。
1、广义力和广义位移对应（虚功的几种形式） 2、无关
3、其他外因
4、一个实际、一个虚设、解决两类问题 5、独立按求解目的假设 6、满足相应条件
关于虚功的几点说明
三、刚体虚功原理（简单回顾一下）
对于某一刚体体系，存在一个力状态，满足静力平衡条件
同时存在一个位移状态，满足变形协调条件＋边界条件 两种状态无关 ，对于力状态中所有外力对位移状态中对应的位移所做虚功总和为0。 注意：力状态、位移状态可以分别是虚设的，则：虚功原理有两种形式： 虚位移原理：求力 虚力原理：求位移
1、虚位移原理，求静定结构的约束力（支反力或内力）（结合例题）
取实际力状态，解除待求约束力的约束，用约束力代替，静定结构→可变
步
（刚体体系）
骤
沿待求约束力方向虚设单位位移，以刚体体系产生的位移状态
虚位移状态 →虚功原理
{
单位位移法：在拟求未知力X方向虚设单位位移，利用几何关系求δP 。 特点：利用几何方法求解静力平衡问题。 2、虚力原理，求刚体体系的位移（结合例题）
单位荷载法：在待求位移方向虚加一个单位荷载（两者对应，以达作虚功的目的）
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特点：用静力平衡的方法来求解几何问题。推广到变形体的位移计算。 3、静定结构在支座移动时的位移计算（结合例题）
上面2的方法可以推广一下：从上节课的分析可知，静定结构在支座移动时，不产生任何内力及变形，因此结构的位移纯属刚体位移，可以利用刚体体系的虚功方程求解。 例：
四、变形体体系的虚功原理
1、弯曲转角、轴向伸缩变形、横向剪切错动： 刚体体系的虚功原理不再适用，但可以将之推广：
由能量守恒：W＋H＝?E H：外部吸收的能量；W：外力所做的功
?E＝T＋U T：动能；U：变形能的增加(内力做功)；E：结构能量的改变
若加载缓慢，不考虑能量损耗：
W＝U 外力所做的功＝结构形变能的变化=内力所做的功
变形体体系上第Ⅰ状态的外力沿第Ⅱ状态中相应的位移所作的虚功（外力虚功）=变形体体系上第Ⅰ状态的内力沿第Ⅱ状态中相应的变形（应变）所作的虚功（内力虚功）。 2、形变能：由于结构的材料发生变形而储存在结构内部的能量，等于加载过程中内力所做的功： 任一隔离体 轴向拉伸或压缩 剪切错动 弯曲变形 U=内力所做的功 对任一微段：du??Ndu??Qrds??Md? 若各微段的变形连续分布：对一杆件u??Ndu??Qrds??Md? 对整个结构而言：U??3、虚功方程
du rds dψ ?Ndu???Qrds???Md? ??P.d????Ndu???Qrds???Md? 外力虚功=内力虚功
例：
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