§7-5 图乘法
梁式杆件在荷载作用下位移计算公式：
MMPds EI因为一般情况下，每杆的Mk、MP变化规律各不相同，同一杆荷载复杂时，分好几1.?kp???段列方程，你必须每个杆取一坐标系，列弯矩方程、积分、叠加。当1）杆件较多；2）荷载较复杂时，求解起来比较困难。将内力与内力图联系起来——图乘法 一、图乘计算原理及计算公式 1、条件：①对于一段等截面直杆；
②当EI沿长度方向不变时，（工程中梁、刚架、组合结构的杆件大多是等截
面直杆且由同一材料做成）；
③分别作出该段杆的Mk、MP图，若其中有一个图形乃直线图形。 杆段图：
P114页图7-13。
MMPxtg?MPtg?ds＝??EI??EIds??EI?xMpds??
?.yctg?tg?xd???x??EIc?EI EI?说明：（dw= MP(x)dx；dx很小→小矩形）=
BtgaBx?dw，几何意义：微面积dw对y轴的?AEI面积矩；?Ax?dw：AB段MP图的面积wp对y轴的面积矩。用x0表示MP面积的形心到y轴的距离，则根据材力（理力）的分析：MP图的面积wp对y轴的面积矩=MP图的面积wp*该图形的形心到y轴的距离x0，也就是：?Ax?dw=wp?x0。所以：上式=
tga11?wP?x0??wP?x0tga??wP?y0k EIEIEIB其中y0k为Mk图中与MP图的形心相对应的竖标。
当然：如果MP图为直线图形，Mk图为直线或曲线图形，可得类似结果。
结论：对于一般EI=常数的等截面直杆，求由弯矩引起的位移时，若Mk图是直线图形：?MKMPMM11ds=?wP?y0k；若MP图为直线图形：?KPds=?wK?y0P，这两EIEIEIEIMKMPw?y0ds=Σ ?EIEI个式子就是图乘公式。
如果结构上每一个杆均可图乘，则Σ
图乘法求位移把列弯矩方程，求积分的问题→作M图，求面积、形心、竖标的问题，
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如果作M图比较熟练，那么当1）杆件较多，2）荷载较复杂，图乘法比积分法方便、优越。
二、公式应用说明：
1、注意应用的三个条件
2、符号：Mk图和MP图在同侧（积分值为正，所以…），（w和y0在杆件基线的同侧时）w、y0为+，否则为- 。面积、形心、竖标三者关系。 3、几种常见图形的面积和形心位置（P115页图7-14。）
a) 三角形：面积w=lh/2，形心2l/3（直角）；面积w=lh/2，形心(l+a)/3 b) 全二次抛物线（上凸）：面积w=2lh/3，形心l/2 c) 二次抛物线（上凸）：面积w=2lh/3，形心5l/8 d) 二次抛物线：面积w=lh/3，形心3l/4 e) 三次抛物线：面积w=lh/4，形心4l/5
f) n次抛物线：面积w=lh/(n+1)，形心(n+1)l/(n+2) 抛物线顶点：顶点处的切线与基线平行。
4、图乘法的关键：求w；形心的位置；y0，但应注意其三个应用条件。对于简单图形，确定w、形心的位置及y0均比较容易；对于复杂图形，确定w、形心的位置及y0均比较困难，这时可将图形分成许多简单图形的叠加，分别定面积、形心和竖标，分别图乘叠加，求代数和。注意：弯矩图的叠加是竖标的叠加，而非图形的叠加。 图乘法应用时的几个具体问题。
1) 如两个弯矩图形均是直线，则标距y0可取自其中任一图形（对应）。 2) 如一个为曲线，另一个是几段直线组成的折线，则分段叠加。 3) 两个梯形图乘（公式计算）（变化形式，有正负、异侧）
4) 均布荷载作用区段，区段叠加法、分解（对应），弯矩竖标叠加而非图形叠加。
(a+b)图乘c=a图乘c+b图乘c，图乘法的优势：利用大家比较熟悉的内力图的作法。 下面我们再讨论两个题目：
例：
MP M1
?1P?1122121122211(?l?ql2??l?ql2?l?l??2l?ql2??l??2l?ql2?l) EI233833233323
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?1112EIql（图乘法）4
例2：P118图7-22。
例3：P117图7-21。
例4：P118图7-23。
§7-6静定结构温度变化时的位移计算
静定结构由于温度变化，不产生内力，但由于材料自由伸缩引起各微段发生变形。温度引起的位移计算的一般公式：
?kt???Ndut???Md?t???Qrtds
式中：
1、微段ds轴向变形dut：P119页图7-24。
假设温度变化沿截面高度成直线变化，此时温度变化时截面仍保持为平面。 t1、t2：为截面上、下边缘温度变化；
t???h2h??ht1htt?t1?2??，为杆轴线处的温度变化,若截面对称，则t?122
杆件轴线处：duds??th?h2h?t??t1ds?(?t21ds)1h????ht1?1ht2??ds??tds
2、微段ds弯曲转角d?t：
d?t2ds??t1ds?t2?t1???tdst??h??h?h
?t?t2?t1
3、微段ds剪切变形rt：
rt=0，由于对于杆件结构，温度变化不引起剪切变形 4、代入公式：
?kt???N?tds???M??tdsh
???t?Nds????t?Mdsh 轴向变形+弯曲变形 ???t?Nds????th?Mds 若为等截面杆
???t?N????th?M ?N、?M：分别为N、M图形的面积。
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5) 公式应用注意说明：
①正负号规定：由于公式右边为内力所作的变形虚功，故当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其积为正，相反时为负。一般规定： t以升温为正； 轴力N：以拉力为正；
弯矩M：以弯曲变形与?t引起的变形一致为正 ②对于具体结构公式可以简化：
梁、刚架：一般略去轴向变形的影响。???tkt??h?M
桁架：?kt???t?N??N?tl 组合结构：综合考虑梁式杆、轴力杆
③当桁架由于制造误差，其杆件长度与设计长度不符时，所引起的位移计算：
?km??N.?l
式中，?l为各杆长度的误差，升长为正，缩短为负；N以拉力为正。 6、计算步骤：
（1）P＝1；（2）绘N、M图，计算图形面积；（3）计算杆轴线处温度变化 （4）代入公式
例：P120页图7-25
§7-7静定结构支座移动时的位移计算
静定结构由于支座移动引起的位移计算属于刚体体系问题。 一、一般公式： 由单位荷载法公式：
?k???RC??(?Ndu??Md???Qrds)
若只考虑支座移动影响，则公式简化为： ?kc???RC P121页图7-26 式中：R：虚拟状态下的支座反力；
C：实际位移
正负号规定：若R与实际支座位移c方向一致时，其积为正，相反时为负。二、求解步骤：
（1）P＝1；（2）R；（3）代入公式
例：P121页图7-27
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§7-8 线弹性结构的互等定理
线性变形体系有四个互等定理，这些互等定理在求位移和超静定结构的内力时是十分有用的。互等定理的应用条件是：
1）材料处于弹性阶段，ζ、ε成正比 2）结构变形很小，不影响力的作用
线性变形体系 }
一、 功的互等定理
例：同一种结构的两种受力状态：状态1、2。P122页图7-28
①取状态1上的力系为作功的力系，取状态2上的位移作为虚位移，则
W12?U12???M1d?2???N1du2???Q1r2ds
（状态1的外力在状态2位移上的虚功=状态1上各微段内力在状态2变形上所做虚功） ???M1M2dsNdskQ???N12???Q12ds EIEAGA②取状态2上的力系为作功的力系，取状态1上的位移作为虚位移，则
W21?U21???M2d?1???N2du1???Q2r1ds
（状态2的外力在状态1位移上的虚功=状态2上各微段内力在状态1变形上所做虚功） ???M2③W12?W21
结论：在一线性变形体系中，状态Ⅰ的外力由于状态Ⅱ的位移所作的虚功=状态Ⅱ的外力由于状态Ⅰ的位移所作的虚功。同一位置的广义力和广义位移应该对应。 注：现在讨论这两个力按不同的次序先后作用于这一结构上时所作的功：
先P1、后P2；先P2、后P1。这两种加载情况，外力先后次序虽不同，但最后的荷载及变形情况是相同的，则两者加载情况所作的总功应相等。也就是：外力所作的功和加载次序无关。
M1dsNdskQ???N21???Q21ds EIEAGA二、 位移互等定理
P123页图7-29、30
两种状态，只作用一广义力：W12?P1.?12
W21?P2.?21
由功的互等定理：
?12?21，即： ?P2P1?12??21（单位力P2=1引起的P1作用点沿P1方向的位移=单位力P1=1引起的P2作用点沿
P2方向的位移）
结论：在一线性变形体系中，单位力P2=1引起的P1作用点沿P1方向的位移（在数值上）=单位力P1=1引起的P2作用点沿P2方向的位移 应用：力法计算超静定结构时使用。
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例：
三、 反力互等定理 P123页图7-31
同一体系中任意两个约束1、2：
状态1：支座1发生单位位移Δ1=1，在支座2产生反力r21 状态2：支座2发生单位位移Δ2=1，在支座1产生反力r12 根据功的互等定理： r21Δ2= r12Δ1
r21= r12
结论：对于一线性变形体系，支座1由于支座2的单位位移所引起的反力r21等于支座2由于支座1的单位位移所引起的反力r21。 应用：位移法计算超静定结构
（两种状态中，同一支座的反力、位移应对应）
四、 反力位移互等定理
P123页图7-32
同一体系中任意两个状态：
状态1：支座1发生单位位移Δ1=1，在2处产生位移?21 状态2：2处作用单位力P2=1，在支座1处产生反力r12’ 根据功的互等定理：W21=r12’×1+1×δ21’
W12=0
因此： r12’=-δ21’
结论：对于一线性变形体系，由于单位荷载P2=1所引起的结构某一支座1处的反力r12’=因支座1发生与反力方向相一致的单位位移时所引起的单位荷载作用处（2处）的位移，但符号相反
应用：混合法计算超静定结构。
注：后三个互等定理均是功的互等定理的特例。
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