第一讲 一元二次方程的解法（一）
【基础知识精讲】
1．一元二次方程的定义：
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知
数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
2．一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 3．一元二次方程的解法：
⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。 (2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m）2=n的形式；
⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，
不能随便约去（x＋4）
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
【例题巧解点拨】
（一）一元二次方程的定义：
1y2222?1 ②2x?5xy?y?0 ③7x?1?0 ④?0中例1：1、方程①2x?3x22一元二次方程是 .
A. ①和②； B.②和③ ； C. ③和④； D. ①和③
2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________. A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
3、若（m+1）x+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：
例2：一元二次方程(x?1)(x?2)?2(x?1)的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。 （三）一元二次方程的解法:
例3:判断下列括号里的数哪个是方程的解。 （1）3x?2x(1,2,0) (2)x?25?0(5,?5,4)
222m(m?2)?1 例4:若x??1是关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0) 的一个根，求代数式2008（a?b?c）的值。
例5:解方程：
用直接开平方法解一元二次方程：
（1）x?25?0 （2） 1600(2x?1)2?900
（3）y?3 （4）
221(2x?1)2?8?0） 2用配方法解一元二次方程：
2（1）（2009 荆州）x?4x?3?0 （2）x2?12x?15?0
（3）4x?4x?1?16 （4）2x?6x?1
例6:（开放题）关于x的方程ax?bx?3x?1一定是一元二次方程吗？若是，写出一个符合条件的a值。
2222【随堂练习】
A组
一、填空题:
224(x?1)(x?2)?5,x?y?1,5x2?10?0,2x2?8x?0，12222x2?3x?4?0,?x2?3,a?2，3x?1?2x?3x，(x?3)(2x?1)?2x中，是一
x元二次方程有_________个 。
1.在
2.关于x的方程是(m–1)x+(m–1)x–2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.
3.把方程3x(x?1)?(x?2)(x?2)?9化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.
4．关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0, 则a的值是___________.
5.x2?3x?____?(x?_____)2; 2x2?6x?____?2(x?_____)2
6. 一元二次方程ax?二、按要求解下列方程:
1.(2a?5)2?32（直接开平方法） 2.x?6x?3?0(配方法)
222
2
b?x0?c若有两根
1和－1,那么
a?b?c?________,a?b?c? 。
B组
一、填空题:
1.当m?_____时, 关于x的方程(m?2)xm?mx?8?0是一元二次方程. 2.如果关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时方程为____________方程． 3.已知y?x2?5x?6,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.
4.当a?4?b?2?c2?0时,则ax?bx?c?0的解为____________________.
225. 方程x?2x?3?0的解是_______________________
2二、用配方法解下列方程:
1.(x?1)(x?3)?12 2．(2x?3)2?2(2x?3)?1?0
(2a?1)2?0 3．4x?4x?1?0 4.x?(2a?1)x?422
三、解答题。
21．（2010 昆明）已知a是方程x?2004x?1?0的一个根，试求a?2003a?22004的2a?1值。
2．（学科内综合题）一元二次方程ax?bx?c?0的一个根是1，且a,b满足等式
2b?a?2?2?a?1，求此一元二次方程。
第二讲 一元二次方程的解法（二）
【基础知识精讲】
一元二次方程的解法： ⑴ 直接开平方法： (2) 配方法： ⑶ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
2?b?b?4ac 2x?一元二次方程的求根公式是(b－4ac≥0) 2a应用求根公式解一元二次方程时应注意：
①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；
④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
(4) 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论
根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，
不能随便约去（x＋4）
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
(5)换元法：
【例题巧解点拨】
（一）知识回顾
例1：对于关于x的方程(x?m)?n,它的解的正确表达式是（ ） A.用直接开平方法，解得x??n B.当n?0时，x?m?n C．当n?0时，x??n?m D.当n?0时，x??n?m 例2 ：用配方法解方程：ax?bx?c?0(a?0)（探索求根公式）
（二）用公式法解一元二次方程 例3：用公式法解方程：
（1）x?3x?2?0 （2）(x?1)(x?2)?2x?5
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