∵∠AEF=90°（垂直定义） ∴∠ADC=90°（等量代换） ∴CD⊥AB（垂直定义）．
【点评】利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法． 31．（2011春?滕州市期末）如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．（证明注明理由）
【分析】要证明EF平分∠BED，即证∠4=∠5，由平行线的性质，∠4=∠3=∠1，∠5=∠2，只需证明∠1=∠2，而这是已知条件，故问题得证． 【解答】证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠BCA=∠BED（两直线平行，同位角相等）， 即∠1+∠2=∠4+∠5， ∵AC∥DE，
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）； ∵DC∥EF（已知），
∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）； ∴∠1=∠4（等量代换）， ∴∠2=∠5（等式性质）； ∵CD平分∠BCA（已知）， ∴∠1=∠2（角平分线的定义）， ∴∠4=∠5（等量代换），
∴EF平分∠BED（角平分线的定义）．
【点评】本题考查了角平分线的定义及平行线的性质． 32．（2014秋?兴化市校级期末）如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q， （1）AB与ED平行吗？为什么？
（2）∠1与∠2是否相等？说说你的理由．
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得出结论；
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（2）由AB∥CD，则∠ABC=∠BCD，再由∠P=∠Q，则∠PBC=∠QCB，从而得出∠1=∠2． 【解答】解：（1）AB∥ED， 理由是：
∵∠ABC+∠ECB=180°，
∴根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥ED；
（2）∠1=∠2， 理由是： ∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD， ∵∠P=∠Q，
∴∠PBC=∠QCB，
∴∠ABC﹣∠PBC=∠BCD﹣∠QCB， 即∠1=∠2． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 33．（2005秋?乐清市期末）如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
【分析】要求∠AOM的度数，可先求它的余角．由已知∠EON=20°，结合角平分线的概念，即可求得∠BON．再根据对顶角相等即可求得；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．
【解答】解：∵OE平分∠BON， ∴∠BON=2∠EON=2×20°=40°，
∴∠NOC=180°﹣∠BON=180°﹣40°=140°， ∠MOC=∠BON=40°， ∵AO⊥BC， ∴∠AOC=90°，
∴∠AOM=∠AOC﹣∠MOC=90°﹣40°=50°， 所以∠NOC=140°，∠AOM=50°．
【点评】结合图形找出各角之间的关系，利用角平分线的概念，邻补角的定义以及对顶角相等的性质进行计算． 34．（2014春?西区期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求： （1）∠EDC的度数；
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（2）若∠BCD=n°，试求∠BED的度数．
【分析】（1）由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由DE为角平分线，即可确定出∠EDC的度数；
（2）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义求得∠BEF的度数，根据平行线的性质求得∠FED的度数，则∠BED即可求解． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠ADC=∠BAD=80°， 又∵DE平分∠ADC， ∴∠EDC=∠ADC=40°；
（2）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD． ∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=n°， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=n°， ∵EF∥AB，
∴∠BEF=∠ABE=n°， ∵EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC=40°， ∴∠BED=n°+40°．
【点评】本题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，以及角平分线的性质，正确作出辅助线是关键． 35．（2014春?宁津县期末）△ABC在如图所示的平面直角中，将其平移后得△A′B′C′，若B的对应点B′的坐标是（4，1）． （1）在图中画出△A′B′C′；
（2）此次平移可看作将△ABC向 左 平移了 2 个单位长度，再向 下 平
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移了 1 个单位长度得△A′B′C′； （3）△A′B′C′的面积为 10 ．
【分析】（1）根据“B的对应点B′的坐标是（4，1）”的规律求出对应点的坐标，顺次连接即可．
（2）通过作图可直接得到答案是：向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度．
（3）平移后的面积与原面积相同，可用补全法求面积． 【解答】解： （1）如图．
（2）向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度．（平移的顺序可颠倒）
（3）把△ABC补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A′B′C′的面积=△ABC的面积为=24﹣4﹣4﹣6=10．
【点评】本题考查的是平移变换．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形． 36．（2016春?兰陵县期末）如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°． （1）求∠DOF的度数；
（2）试说明OD平分∠AOG．
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【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠FOB=∠A=30°，再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°，然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解；
（2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解． 【解答】解：（1）∵AE∥OF， ∴∠FOB=∠A=30°， ∵OF平分∠BOC， ∴∠COF=∠FOB=30°，
∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°；
（2）∵OF⊥OG， ∴∠FOG=90°，
∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°， ∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°， ∴∠AOD=∠DOG， ∴OD平分∠AOG．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相等得到相等的角是关键． 37．（2014春?鞍山期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． （1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=38°，则∠2= 76 °，∠3= 90 °． （2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3= 90 °；若∠1=40°，则∠3= 90 °． （3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3= 90 °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？
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