3?28?2.848?10eV ∴ 电子的最小平均动能为 Ek?28mr3-9 已知粒子波函数??Nexp???|x||y||z|????，试求：(1)归一化2a2b2c??常数N；(2)粒子的x坐标在0到a之间的几率；(3)粒子的y坐标和z坐标分别在-b→+b和-c→+c.之间的几率．
解: (1)因粒子在整个空间出现的几率必定是一,所以归一化条件是:
??????dv = 1
即:
????0?????dv?N2?e??2???2x2adx?e???zc???2y2bdy?e?????2z2cdz
2N2a?e??xadx2b?ea0??ybdy2c?eb0?dz?N28abc?1
c 所以 N?18abcx2a
x
?2y2b (2) 粒子的
2N为:?e02坐标在0?a区域内几率
a?2dx?e????dy?e?????2z2cdz
11?N4abc?e?1?(1?)
2e???1?? (3) 粒子的
y?(?b,b),z?(?c,c)区域内的几率为:
y2bN2?????e?2x2adx?e?b?b?2dy?e?c?c?2z2c112dz?N8abc(?1)?(?1)2
ee2 3-10 若一个体系由一个质子和一个电子组成，设它的归一化空间波函数为ψ(x1，y1，z1；x2，y2，z2)，其中足标1，2分别代表质子和电子，试写出：
(1)在同一时刻发现质子处于(1，0，0)处，电子处于(0，1，1)处的几率密度；
(2)发现电子处于(0，0，0)，而不管质子在何处的几率密度； (3)发现两粒子都处于半径为1、中心在坐标原点的球内的几率大小
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3-11 对于在阱宽为a的一维无限深阱中运动的粒子，计算在任意本征态ψn中的平均值x及(x?x)，并证明：当n→∞时，上述结果与经典结果相一致．
3-12 求氢原子1s态和2P态径向电荷密度的最大位置． 第三章习题13,14
3-13 设氢原子处在波函数为?(r,?,?)?玻尔半径，试求势能
U(r)??e4??r11e?ra???a的基态，a1为第一
的平均值．
3-14 证明下列对易关系：
??[y,p]?i? ??[x,py]?0 ??[x,Lx]?0 ??[x,Ly]?i?z ??[px,Lx]?0
???[px,Ly]?i?Pz 第三章习题15解
3-15 设质量为m的粒子在半壁无限高的一维方阱中运动,此方阱的表达式为:
???V(x)=?0?V?0x?00?x?a x?a试求: (1)粒子能级表达式; (2)证明在此阱内至少存在一个束缚态的条件是,阱深V0和阱宽a之间满足关系式:
?2 V0a?
32m2解: (1) 在x<0时,由薛定谔方程可得:
??22? ????V(r)???E?
?2m? 因为 V(x)??? 所以 ?1(x)?0 (1)
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0?x?a, V(x)=0,体系满足的薛定谔方程为:
?2d2?2?E?2 (2) ?22mdxd2?22mEd2?2整理后得:2?2?2?0令k?2mE/? 则: 2?k2?2?0
dx?dx因为?2(0)?0所以波函数的正弦函数:?2?Asin(kx) (3)
?2d2?3?V0?3?E?3 x>a , V(x)?V0 薛定谔方程为: ?22mdx(4)
d2?32m(V0?E)?3?0 令k?2m(V0?E)/? 整理后得: 2?2dx?d2?3 则: 2?k'2?3?0 方程的解为:?3?Be?k'x (5)
dx?'(a)?'3(a)?'?式中A,B 为待定系数,根据标准化条件的连续性,有2
??2(a)?3(a)将(3),(5)式代人得: kctg?k?k' (6) (2):证明: 令 u?ka(7)
同时, u和v 还必须满足下列关系式:
u2?v2?(k2?k'2)a2?2mv0a2/h2 (8) 联立(7) (8)可得粒子的能级的值..
用图解法求解:在以v为纵轴u为横轴的直角坐标系中(7) (8) 两式分别表示超越曲线和圆,其交点即为解.
因k k’ 都不是负数,故u和v 不能取负值,因此只能取第一象限. 由图可知(7) (8)两式至少有一解得条件为:
2mv0a2??22? 即 V0a? 2232m?v?k' 则(6)式可改为:uctgu??v
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