《高等数学(1)下》复习资料
一、 填空题
1、设z=uv+sint,而u=et,v=cost，则2、设 ln(x+y)=2arctan22dz= . dtydy,则= . xdx3、曲线x=t，y=t2，z=t3在点(1,1,1)处的切线方程为 . 4、设函数z=x2+y2-4xy，则 dz(1,1)? . 5、设f(x,y,z)=x2+y3+z4,则gradf(-1,1,-1)= . ⅱ6、微分方程xyⅱ+2x2(y)4+x3y=x4+1的阶数为 . 7、含有未知函数的 方程叫微分方程. 8、微分方程
dy+xy=sinx的自变量是 ，未知函数是 ，方程的阶数为 . dx9、若级数
?￥(2-￥n=11)收敛，则limun= .
n?un10、常数项级数
1的和为 . ?nn=1312、常数项级数
?￥n=11的和为 .
n(n+1)13、设f(x,y)=ln(x+y2),则fy(1,1)= . 22214、设区域D:x+y?a(a>0)，则
蝌3dxdy= . D15、微分方程xlnydy=ylnxdx满足yx=1=1的特解是 . 16、设D：1＃x2,1＃y23，则蝌xydxdy= . D17、设曲线L:x+y=1，第二型曲线积分18、设L为圆周x+y=9，则曲线积分19、改变二次积分的积分次序：
2221?xdy-ydx= . 2òLx2?y2ds= .
??L蝌dx1elnx0f(x,y)dy= .
2220、函数z?x?y在约束条件x?y?1下的极小值为 . 1
21、微分方程y???ex的通解为 .
22、e的麦克劳林级数为 . 23、级数
?x?(?1)nn?1??1为 .（绝对收敛，条件收敛，发散） n24、级数
?un?1n收敛的必要条件是 .
二 、单项选择题
1、设曲线L为圆周：x2?y2?1，则第一型曲线积分ds=（ ）
?LA、0 ； B、? ；C、2? ；D、3? 2、下列命题中正确的命题是 ( )
A、若函数f(x,y)在点(x0,y0)连续，则f(x,y)在点(x0,y0)必可微； B、若函数f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)必可微； C、若级数
?un?1?n?n收敛，则级数
?un?1?n必收敛;
D、若级数
?un?1￥收敛，则limun?0.
n??xn3、幂级数?(-1)的收敛域是（ ）
nn=1nA、(-1,1) B、[-1,1] C、[-1,1) D、(-1.1]. 4、极限
(x,y)?(0,1)limln(x?ey)x?y22的值为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、ln2 5、二元函数 f(x,y)?x?y的定义域是（ ）
A、 (x,y)x?0,y?0 B、(x,y)x吵0,y??{0,x2?y}=(x,y)x吵y,y{0
}2C、 (x,y)x?0,y?0 D、 (x,y)x?0,y?0,x?y .
????6、下列级数中发散的级数是（ ）
2
A、
?￥n=1￥￥￥111(-1)n B、?sin C、? D、?. 22nnnnn=1n=1n=17、设函数 f(x,y,z)?xy2?yz2?zx2，则fxx（0，0，1）?( ) A、0 B、1 C、2 D、3
8、设曲线L为圆周：x2?y2?1，则第一型曲线积分A、0 B、2? C、 3? D、 6p 9、设D:x2+y2?4，则二重积分A、
?3ds=（ ） òL1蝌4ds=（ ） Ddu=（ ） dtt=0? B、2? C、4? D、8?
10、设u=x2+y2+xy,x=sint,y=et,则 （A）3 （B）2
22 （C）1
2 （D）0
x2y211、设?为球面x?y?z?1在第一卦限部分，则??ds?（ ）
z?A、
Dxy??x2y21?x?y22dxdy B、???Dxyx2y21?x?y22dxdy
x2y2x2y2dxdy D、???dxdy C、??22221?x?y1?x?yDxyDxy
三、解答题
1、求函数 u?xy?yz?zx在点P(1,1,2)沿方向l的方向导数，其中l的方向角分别为
???3,???4,???3 .
2抖zz?2z2、设z=f(u),u=x+y,其中f具有一、二阶连续导数，求 ,,.
抖xy?x223、求曲面x-xy-8x+z+5=0在点M0(2,-3,1)处的切平面方程及法线方程. 4、计算下列二重积分： (1)、(2)、
2蝌xydxdy，其中积分区域D由直线y=1,x=2.y=DDx围成.
蝌(3x+2y)dxdy，其中积分区域D由两坐标轴及直线x+y=1围成.
3
(3)、
22222(1-x-y)dxdy，其中D：x?y?a(a?0) 蝌D(4)、
蝌Dx2+y2dxdy，其中D：a2?x2y2?b2(ba>0).
4、计算下列第一型曲线积分： (1)、 (2)、
22(x+y)ds，其中L:x=acost,y=asint(0＃t?òL2p).
ò(x+y)ds,其中L为连接A(1,0)及B(0,1)两点的直线段.
L5、计算下列第二型曲线积分（注：第(1) 、(2)题直接计算；第(3) 、(4)题用格林公式计算） (1)、 (2)、(3)、
òLLxdy-ydx222L，其中是圆周,x+y=a(a>0)，按逆时针方向绕行. 22x+y2Lxydx,其中是抛物线y=x上从点A(1,-1)到点B(1,1)之间的一段弧. ò?(2y-òLx)dx+(4x+3y)dy，其中L是圆周(x-1)2+(y-2)2=a2(a>0)，按
逆时针方向绕行. (4)、
2222L(2xy-x)dx+(x+y)dy，其中是由抛物线和所围成的闭区x=yy=x?òL域D的正向边界曲线.
6、判别下列级数的敛散性：
(1)、
?￥￥n=1￥￥np1； (2)、?sinn； (3)、?sin； n+13nn=1n=1￥￥n5nn(-1)n； (5)、?； （6）?.
1n!n=1(2+n=1lnn)nn(4)、
?n=17、解下列微分方程：
xyyexy(1)、y￠=； (2)、y￠=； (3)、y￠+= 21+xxxx+y8、求由方程sinxy?z?zy?0所确定的隐函数的偏导数
2?z?z,. ?x?y9、求下列幂级数的收敛域，并在收敛域内求处它们的和函数：
(1)、 1?2x?3x?4x???nx(2)、?￥23n?1??
n=1xn n4
10、计算下列三重积分： (1)、
222(x?y?z)dxdydz，其中?是由三坐标面和平面x?1，y?1，z?1所围????成的闭正方体. （2）、
???(x?2?y2)dxdydz，其中?是由抛物面x2?y2=2z和平面z=2所围成的闭区域.
11、计算下列第一型曲面积分： (1)、 (2)、 (3)、
??xyzdS,，其中S为平面x+y+z?1在第一卦限中的部分.
S蝌xds，其中S为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.
s2222(x+y+z)dS,，其中S为上半球面x?y+z=a,z?0. ??S四、 证明题 1、 证明曲线积分I=ò(2,1)(1,0)(2xy-y4+3)dx+(x2-4xy3)dy在整个xoy平面内与路径无
关，并计算积分值.
2、验证： (x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy-y2)dy在整个xoy平面内存在原函数u(x,y)，并求一个原函数.
d2y23、验证函数y=C1cosax+C2sinax是微分方程2+ay=0的通解.
dx
5