饮酒与驾车的关系
本文2004年获得国家数学建模一等奖，并且在《工程数学》核心期刊发表。
摘要
针对酒后驾车问题，本文从实际情况出发并结合题设作出了合理的假设，并考虑了影响体液中酒精含量变化的因素——吸收过程和代谢过程的同时进行，建立了一般微分方程模型。进而考虑到饮酒的快慢的不同，于是在一般模型的基础上又得出了两个具体的模型。接下来用常数变易法对各个模型进行求解，而且由题得知题中所给的数据符合具体模型Ⅰ，于是我们用最小二乘法并借助于Matlab软件，对模型Ⅰ所得的体液中酒精浓度关于时间的表达式进行拟合，得到了模型中吸收能力系数a和代谢能力系数b的值分别为2.0261和0.1842，到此时我们得到了可以用来解答题中问题的模型的解。于是我们就根据已知条件分别判断各问题符合的模型，再逐步地采用Mathematica软件来一一解答了各个问题。解答问题1时，得到下午6点的体液中酒精的含量为18.8198毫克/百毫升，小于国家标准规定的20毫克/百毫升，而凌晨2点的为20.3968毫克/百毫升，大于国家标准规定的20毫克/百毫升，如此通过定量的分析合理的解释了大李遇到的情况；在问题2中我们得到两种情况下分别在饮酒后11.6341小时、12.7169小时内驾车就会违反国家新标准，而通过对题中数据的分析比较可知此结果是很符合实际的；问题3中采用了作图的方法并结合了高等数学中关于求驻点及求极值的相关知识，在问题2的前提条件下结合两种不同的情况来说明如何估计体液中酒精含量达到最大时的时间，如：在问题2中对两种饮酒方式求得分别在饮酒后1.35067小时和2.62436小时时体液中酒精含量达到最大值：124.638毫克/百毫升和116.682毫克/百毫升；对于第四个小问题，先根据模型Ⅰ求解出酒精被吸收的百分比，再由求无穷等比数列的极限得出体内酒精浓度的极限值，进一步算出每天酒精涉入量的极限安全值为8399.7毫克,相当于0.387瓶啤酒所含的酒精量。
本文的最大特色在于运用合理的假设建立了一个针对酒后驾车问题的一般的微分方程模型，然后用常数变易法求出了其通解，这使得我们一开始就站在一个很高的理论高度，在这个理论的指导下，各种具体问题都变得非常容易求解，这就极大的简化了计算。此外，我们还对一般的模型进行了误差和灵敏度分析，利用微分方程的稳定性理论严格的证明了微分方程对初值与非齐次项都是渐进稳定的，这表明我们的模型是完全可行的。
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一、问题的提出
据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。
针对这种严重的道路交通情况，国家量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准。新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
1. 对大李碰到的情况做出解释；
2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：
1）酒是在很短时间内喝的；
2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4. 根据你的模型论证：如果天天饮酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
参考数据
1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。
2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据见附录。
二、问题假设
为了更简便的解决问题，我们在研究这个问题的过程中作出以下假设： 1. 假设整体过程中人没有摄入任何影响代谢的药类物质和作剧烈性运动。 2. 人的吸收速率和代谢速率是恒定的。 3. 血液与体液中酒精的浓度相同。
4. 酒精代谢速率与当前血液中酒精浓度成正比。
5. 人体体液对酒精吸收速率与当前肠胃中酒精含量成正比。 6. 人体自身产生的酒精忽略不计。 7. 忽略不同人对酒精代谢能力的差异。
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三、符号说明
变 量 含 义 吸收能力系数 代谢能力系数 开始饮酒时人体体液中的酒精浓度 人喝下酒精的总量 人体液所占的体积 时间 较长时间饮酒时的持续时间 酒精由肠胃进入人体体液的速率 酒精由口进入肠胃的速率 t时刻体液中酒精的量 单 位 1/小时 1/小时 毫克/百毫升 毫克 百毫升 小时 小时 毫克/小时 毫克/小时 毫克 毫克 毫克/百毫升 备 注 一瓶啤酒中酒精的量约为21700毫克[5] 约为420百毫升[4] a b C0 Q0 V0 t T f(t) f1(t) x(t) y(t) C(t) t时刻肠胃中酒精的量 在t时刻人体体液（或血液）中的酒精浓度
四、问题分析及模型的建立
1．问题分析
依常识，我们知道酒精无需经过消化系统即可被肠胃直接吸收，进入血管，在几分钟后迅速扩散到人体全身，且参与代谢，即吸收过程和代谢过程是同时进行的。由此我们可以知道血液中酒精浓度同时受吸收和代谢影响。而由假设和题目的条件可知，体液中酒精浓度和血液中的酒精浓度是一样的，所以我们只考虑体液中酒精浓度的变化。接下来我们将分别对吸收过程和代谢过程作分析和讨论：
（1）吸收过程
在此过程中我们考虑的是肠胃吸收酒精进入体液所引起的酒精量的增量，其中用
f(t)代表t时刻酒精由肠胃进入人体体液的速率（单位：毫克/小时），则时间段[t,t??t] 3
内体液中酒精量的增量可表示为：?t??ttf(t)dt。再以Q0表示人喝下酒精的总量，以刚开
始饮酒的时刻为记时的初始时刻，即t=0，由于喝下的酒精在时间无穷长时总会被全部吸收，故有：
（2）代谢过程
在此过程中我们考虑的是机体代谢排出体液中酒精所引起的量的变化，这里我们认为酒精的代谢的速率与当前体液中含有的酒精量成正比关系，设比例系数为b，以x(t)表示t时刻体液中酒精的量，则时间段[t,t??t]内体液中酒精量的减少量可表示为：
?t??ttbx(t)dt。
结合以上两个过程，依据量守恒定律，在时间段[t,t??t]内有：
体液中酒精量的变化量 = 吸收进入体液的酒精量 - 代谢了的酒精的量 即得方程：
x(t??t)?x(t)??t??ttf(t)dt??t??ttbx(t)dt
两边同除?t后让?t?0取极限得微分方程：
dx(t)?f(t)?bx(t) dt根据体液中酒精的量x(t)与体液中酒精浓度C(t)间的关系x(t)?V0C(t)，在上式两边同时除以V0得酒精浓度C(t)满足的微分方程：
dC(t)f(t)??bC(t) dtV02．模型建立
根据以上分析，我们可以得出血液中酒精浓度关于时间变化的一般模型：
一般模型：
?dC(t)f(t)?dt?V?bC(t)0??????0f(t)dt?Q0 ??C(0)?C0??4
由题中可知，酒可以在很短时间内喝完，也可以在一段较长的时间内喝完，这样将有两个不同的吸收速率，即可以得到两个不同的f(t)表达式，于是可以得到两个具体模型。第一个模型是考虑短时饮酒效应，第二个模型考虑的是长时饮酒效应。
具体模型Ⅰ的建立：
由于考虑的是短时的饮酒效应，可以认为人饮入的酒量在最初时间就全部存在于机体的肠胃中，以y(t)表示t时刻肠胃中酒精的量，即有y(0)?Q0,从生物机体对酒精吸收的规律，可以知道肠胃中酒精的减少速率与剩余量成正比，设比例系数为a，由此有微分方程：
dy(t)??ay(t) dt而又很容易想到酒精进入人体体液的速率与肠胃中酒精的减少速率是一个相当过程，这样便可以得到：
f(t)?ay(t)
再结合一般模型，我们可以得出如下模型
?dC(t)f(t)?dt?V?bC(t)0???f(t)dt?Q0??0?C(0)?C0??具体模型Ⅰ： f(t)?ay(t) ??dy(t)??ay(t)?dt???y(0)?Q0
具体模型Ⅱ的建立：
在这里研究的是长时饮酒效应，可近似认为在持续饮酒的过程中酒精是匀速进入肠胃的，参照模型Ⅰ可有y(0)?0，在此我们引入函数f1(t)来表示酒精进入肠胃的速率（单位：毫克/小时），T表示饮酒时的持续总时间，则酒精进入肠胃的速率与整个过程中喝入的酒精量有如下关系：
?Q0/T,t?Tf1(t)??t?T?0,
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