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2.5 考虑一个其效用由教材中方程和方程
给定的家庭。设真实利率不
变，并且W表示家庭的初始财富与其终生劳动收入现值之和教材中方程
的右边，给定r、W与效
用函数的参数，求出C的效用最大化路径。
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
（1）
（2）
W代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r是常数。 建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消L?t?/H，得：
e??tC?t?????e??t （3）
两边对时间t求导，可得：
得到下面的方程：
（4）
将方程（3）代入（4），可得：
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抵消?e??t然后求消费的增长率C?t?/C?t?，可得：
（5）
由于利率r是常数，所以消费的增长率为常数。如果r??，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果r??，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。如果r??，则 ?决定了消费增长的幅度。?值越低，也就是替代弹性越高，1/?越高，即消费增长的越快。
重写方程（5），得：
（6）
对方程（6）积分，积分区间是从时间??0到时间??t，可得：
上式可以简化为：
lnC?t?/C?0???r???/?t （7）
/??t?r??）对方程（7）两边取指数，可得：C?t?/C?0??e（，整理得：
C?t??C?0?e?（r??）/??t （8）
下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：
将L?t??L?0?ent代入上式，可得：
（9）
（r?n）只要???r???/??0，从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：
（10）
将方程（10）代入（9）中，求解C?0?：
（11）
将方程（11）代入（8），求解C?t?：
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（12）
上式便是C的效用最大化路径。
2.6 生产力下降与储蓄。考虑一个正处在其均衡增长路径上的拉姆齐—卡斯—库普曼经济，并且设g永久性地下降。
（a）如果这个变动影响k?0曲线，它将怎样影响？ （b）如果这个变动影响c?0曲线，它将怎样影响？
（c）在变动时刻，c会发生什么事情？
（d）找出g的边际变化对正处在均衡增长路径上的产出的储蓄份额产生影响的表达式。人们可否说明这种表达式为正还是为负？
（e）对于生产函数是柯布—道格拉斯的情形，即?k??k?，请重新写出用?、n、g、（提示：利用事实f??k*?????g。） ?与?表示的（d）的答案。
答：（a）关于资本的欧拉方程为：
k?t??f?k?t???c?t???n?g?k?t? （1）
该方程描述了资本的动态方程，在拉姆齐模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的
核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
图2-1 拉姆齐模型
在均衡增长路径上，k=0，由此可以推出：c?f?k???n?g?k。在该方程中，当g永久性地下降时，会导致消费c上升以保持方程的均衡。因而在图形上k?0曲线向上移动。同时，保持k不变，g永久性地下降会导致持平投资下降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资?n?g?下降的幅度更大，因而在更高的k水平上，k?0向上移动得更大。图2-1是该模型的图示。
（b）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：
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（2）
该方程描述了消费的动态方程，在拉姆齐模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
在均衡增长路径上，要求c?0，即f??k?????g，在g永久性地下降时，为保持c?0，
f??k?必须下降。由于f??k?＜0，因而f??k?下降必然导致k上升。因此，c?0必须上升，
在图形上表现为c?0向右移动，如图2-1所示。
（c）在g永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在均衡增长路径k?处。
与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着g永久性地下降而迅速变化。为使经济从旧的均衡增长路径达到新的均衡增长路径，每单位有效劳动的消费c必将发生变化。 不过，此处无法确定新的均衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费c是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的均衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费c甚至可能保持不变。因此，c和k逐步移动到新的均衡增长路径，此时的值高于原先的均衡增长路径值。
（d）在均衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
?f?k?*?c*?/f?k*? ??因为k保持不变，即k?0，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可知：
f?k*??c*??n?g?k*
由上面两个式子可以推出在均衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：
**s????n?g?k??/f?k? （3）
对方程（3）两边关于g求导数，可得：
可以再简化为：
（4）
由于k?由f??k*?????g决定，对该式两边关于g求导数，可得：f??k*??k*/g???，从而求出k?/g为：
k*/g??/f??k*??0 （5）
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将方程（5）代入（4）中，可得：
（6）
在方程（6）中，分母f?k??和2f???k??为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。因此，无法判断在均衡增长路径上g永久性地下降会使s上升还是下降。
（e）将柯布—道格拉斯生产函数f?k??k?，f??k???k??1和f??k??????1?k??2代入方程（6）中，可得：
简化为：
从上式可以推出：
最终有下面的结果：
2.7 描述如下的每种变化怎样影响图2-2中的c?0与k?0曲线，以及它们如何影响c与k的均衡增长路径的值。 （a）?的上升。
（b）生产函数的向下移动。
（c）折旧率由教材中假设的0值上升为某一正水平的变动。
图2-2 鞍点路径
答：（a）关于c与k的欧拉方程为：
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