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图2-13 每单位有效劳动的消费、有效劳动的资本图示
2.11 利用相图分析预期与非预期的暂时性变化的影响。分析习题2.10的如下两个变量。
（a）在0时刻，政府宣布它将从0时刻开始以税率?对投资收入征税，直至后来的t1时刻结束，此后投资收入将再次不征税。
（b）在0时刻，政府宣布由t1时刻至稍后的t2时刻，它将以税率?对投资收入征税，在t1之前与t2之后，投资收入将不再征税。
答：（a）第一问是分析预期到的税收将在t1时刻结束，因而消费在t1时刻将不会发生非连续的变化。原因在于家庭的跨期消费最优化要求家庭平滑消费。因此，在经济返回到旧的鞍点路径时，消费必须在t1时刻位于旧的鞍点路径上。
在征税之前，即到0时刻，和在结束征税之后，即t1时刻之后，经济动态变化由下面两个欧拉方程决定：
（1）
k?t??f?k?t???c?t???n?g?k?t? （2）
资本积累的动态方程k?0不会受到征税的影响，但是，消费的动态方程c?0则会受到征税的影响。在0时刻到t1时刻，资本的税后回报为?1???f??k?????g，为了保证c?0成立，f??k?t??必须上升，由于f???k??0，所以k必须下降，从而c?0必须左移。在0时刻，
k?0保持不变，开始征税，但经济位于原鞍点路径的右边，因而c开始下降。此时经济在k?0的下边，因而k开始上升，经济会偏离到E点的东南，离开了原来的鞍点路径。
如图2-14所示，在0时刻，经济上升到A点，k和c开始下降，最终经济会降到k?0曲线的下方，因而k开始上升。这是因为家庭预测到税收将被取消，因而开始增加投资。在t1时刻，税收被取消，经济将位于动态系统的右边，即B点。在t1时刻之后，动态方程c?0再次支配动态系统。此刻经济再次返回原先的鞍点路径，最终返回到原先的稳定点E。
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图2-14 鞍点路径
（b）由于家庭可以事先预测到税收将被执行或取消，因此从家庭会进行跨期消费最优化这一角度出发，家庭会选择在各期之间平滑消费，因此在t1时刻和t2时刻，c不会发生不连续的变化。为了使经济返回到均衡增长路径上，在t2时刻经济必须位于原先的鞍点路径上。
在税收被执行的t1时刻之前和税收被取消的t2时刻之后，经济仍由动态系统（1）和（2）来支配。在税收被宣布的0时刻直到被执行的t2时刻为止，原先的欧拉方程仍然支配动态系统。
在0时刻税收被宣布执行，消费开始上升到A点，经济仍然位于c?0的动态系统上，但是位于k?0的动态系统的上方，因此k开始下降。因而开始偏离到c?0的左边，c开始上升，经济此刻偏离到动态系统的西北方。
在t1时刻税收开始执行，家庭倾向于减少储蓄，因而k开始下降，导致c?0左移，经济到达B点。此刻经济位于k?0的动态系统的上方和c?0的动态系统右边，因而，k继续下降而c开始下降。最终经济会下降到k?0的动态系统的下方，因而k开始上升。为实现家庭的跨期最优化，必须选择资本的初始值以使经济在t2时刻税收取消时位于旧的鞍点路径上的C点。在t2时刻之后，经济仍由动态方程c?0支配，从而经济最终会返回到旧的稳定点E上。如图2-15所示。
图2-15 鞍点的路径
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2.12 书中拉姆齐—卡斯—库普曼模型中政府政策的分析假设政府购买并不影响私人消费的效用。一个相反的情形是政府购买与私人消费是完全替代的，特别地，设效用函数（2.12）被修正为：
如果经济初始处在其均衡增长路径上并且家庭的偏好由U给出，政府购买的暂时性增加对消费、资本与利率路径的影响是什么？
答：将政府购买纳入到动态系统中，则资本积累方程为：
（1） k?t??f?k?t???c?t??G?t???n?g?k?t? 其中，G?t?代表t时刻每单位有效劳动的政府购买。
因为假定政府购买会完全替代掉私人消费，G?t?的变化将会一对一的抵消掉c的变化。在初期，定义G?t??GL，家庭的消费增长率变为：
（2）
对于处在均衡增长路径上的消费来讲，动态方程c?0要求f???k?????g。短期政府购买的变化只会产生水平效应，即只影响c的变化，而不会影响增长率的变化，也就是不会移动c?0曲线。假定经济处于均衡增长路径上的E点，在t0时刻，G?t?从GL上升到GN，家庭预测到加税只是暂时的，在t1时刻之后GN会返回到GL。G?t?的上升会使（1）式中k?0的动态系统向下移动，移动的数量恰好为?GN?GL?。政府购买的增加直接地减少了家庭消费。 与拉姆齐—卡斯—库普曼模型中政府政策的分析假设政府购买并不影响私人消费的效
用的情况相反，政府购买与私人消费是完全替代的，假定会要求在t1时刻c必须立即向上跳动?GN?GL?以抵消政府购买的减少，从而返回到原先的均衡增长路径上。如图2-16所示，经济必须在t0时刻向下跳动到ENEW点，下降的数量为?GN?GL?。经济在这一点上一直停留到t1时刻。此后，经济向上跳动?GN?GL?以返回到旧的均衡增长路径上的E点。
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图2-16 拉姆齐—卡斯—库普曼模型
下面分析两种非均衡的情况。
第一种：在t0时刻，c下降的数量小于?GN?GL?。此种情况下，经济将位于新的k?0的上方，k便会减少从而位于c?0的左方，c便会上升，则经济会向动态系统的西北方向移动。那么，在t1时刻，c即使向上移动?GN?GL?，经济也不会返回到原先的路径上，这是第一种非均衡的情况。
第二种：在t0时刻，c下降的数量大于?GN?GL?。此种情况下，经济将位于新的k?0的下方，k便会上升从而位于c?0的右方，c便会下降，则经济会向动态系统的东南方向移动。那么，在t1时刻，c即使向上移动?GN?GL?，经济也不会返回到原先的路径上，这是第二种非均衡的情况。
总之，G?t?的暂时性变化，并不会对资本存量和实际利率产生影响，随着G?t?的暂时性上升，c会下降同样的数量。在G?t?返回到初始水平时，c会返回到原先的均衡增长路径上。
2.13 考察具有对数效用函数与柯布—道格拉斯生产函数的戴蒙德模型。描述如下的每一种变化怎样影响作为kt的函数kt?1：
（a）n的上升。
（b）生产函数的向下移动（那便是f?k?采取Bk?的形式，并且B下降）。
（c）?上升。 答：（a）在对数效用函数与柯布—道格拉斯生产函数的假定下，kt?1与kt的关系为：
（1）
n的上升会导致kt?1函数向下移动，如图2-17所示。
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图2-17 n的上升对k?的影响
因为每单位有效劳动的要素收入为：wt?f?kt??ktf??kt?，它不依赖于劳动的增长率n，因此t期同样数量的每单位有效劳动的资本和每单位有效劳动的收入会产生同样数量的储蓄，也就会导致在t?1期产生同样数量的资本。但是，由于劳动的增加，每单位个人的资本数量减少了，低于原先的kt。
（b）修改生产函数为f?k??Bk?，因此，kt?1的函数修改为：
B的下降会导致kt?1的函数向下移动。在t期，每单位有效劳动的资本能生产的每单位
有效劳动的产量会下降。因为wt?f?kt??ktf??kt?且劳动收入中用于储蓄的比例与B无关，因此会导致在t?1期数量更少的资本。
（c）对方程（1）两边关于?求导如下：
（2）
为决定?kt?/??，定义f????kt?，两边取对数如下：lnf?????lnkt，对该式两边关于?求导，可得：
?lnf???/???lnkt （3）
由于下式：
（4）
将方程（3）代入（4）中，可得：
?f???/???f???lnkt （5）
方程（5）可以重写为：
?kt?/???kt?/lnkt （6）
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